Determine, usando convolução, as funções
cujas transformadas de Fourier são dadas
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma função
cujas transformadas de Fourier são dadas por
. Vamos usar a técnica de convolução para resolver isso. Então, precisamos lembrar de como a convolução e a transformada de Fourier estão relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências. Então, se sabemos a transformada de Fourier de uma função, podemos tentar descobrir a própria função.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre convolução. A convolução de duas funções
e
é uma nova função que combina as duas de uma forma específica. Na transformada de Fourier, a convolução no domínio do tempo/espacial corresponde à multiplicação das transformadas de Fourier. Mas aqui, temos a transformada de Fourier de
já dada.
Passo 4
Observando a expressão
, notamos que ela é o quadrado de
. Isso sugere que podemos pensar em
como a convolução de duas funções que têm
como transformada de Fourier.
Passo 5
Sabemos que a transformada de Fourier de
é
, onde
é a função degrau (ou função de Heaviside). Então, se convoluirmos
com ele mesmo, a transformada de Fourier resultante será
, que é exatamente o que temos para
.
Passo 6
Vamos calcular a convolução de
consigo mesma:
Como
e
são zero para
e
, os limites da integral mudam para
a
:
Resposta
A função
é dada por: