Determine, usando convolução, as funções f: R -> C cujas transformadas de Fourier são dadas
(b) f(ω) = 1/((1 + i * ω)^(2)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma função cujas transformadas de Fourier são dadas por . Vamos usar a técnica de convolução para resolver isso. Então, precisamos lembrar de como a convolução e a transformada de Fourier estão relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências. Então, se sabemos a transformada de Fourier de uma função, podemos tentar descobrir a própria função.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre convolução. A convolução de duas funções e é uma nova função que combina as duas de uma forma específica. Na transformada de Fourier, a convolução no domínio do tempo/espacial corresponde à multiplicação das transformadas de Fourier. Mas aqui, temos a transformada de Fourier de já dada.

Passo 4

Observando a expressão , notamos que ela é o quadrado de . Isso sugere que podemos pensar em como a convolução de duas funções que têm como transformada de Fourier.

Passo 5

Sabemos que a transformada de Fourier de é , onde é a função degrau (ou função de Heaviside). Então, se convoluirmos com ele mesmo, a transformada de Fourier resultante será , que é exatamente o que temos para .

Passo 6

Vamos calcular a convolução de consigo mesma:
Como e são zero para e , os limites da integral mudam para a :

Resposta

A função é dada por:

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