Determine as funções
cujas transformadas de Fourier são dadas
(a)
.
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar as funções
cuja transformada de Fourier é dada por
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos da transformada de Fourier, especialmente a transformada inversa, que nos ajuda a encontrar a função original a partir da sua transformada.
Passo 2
Vamos começar aplicando a transformada inversa de Fourier na expressão dada. A transformada inversa de Fourier é definida por:
Substituindo
na integral:
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos decompor a expressão
em frações parciais. Ou seja, queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar os valores de
e
, escolhemos valores de
que simplificam a equação. Por exemplo:
-
Quando
: -
Quando
:
Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo as duas equações, descobrimos que
. Substituindo em uma das equações, obtemos
. Portanto, a decomposição é:
Passo 4
Substituímos a decomposição na integral original:
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 5
Reconhecemos que a integral
é uma transformada de Fourier conhecida, que resulta em uma função exponencial. Especificamente:
onde
é a função degrau de Heaviside, que é 1 para
e 0 para
.
Aplicando isso aos termos da nossa expressão:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar
: