Determine as funções f: R -> C cujas transformadas de Fourier são dadas
(a) f(ω) = 1/((2 + i ω)(3 + i ω)).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar as funções cuja transformada de Fourier é dada por . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos da transformada de Fourier, especialmente a transformada inversa, que nos ajuda a encontrar a função original a partir da sua transformada.

Passo 2

Vamos começar aplicando a transformada inversa de Fourier na expressão dada. A transformada inversa de Fourier é definida por:
Substituindo na integral:

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos decompor a expressão em frações parciais. Ou seja, queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar os valores de e , escolhemos valores de que simplificam a equação. Por exemplo:
  • Quando :
  • Quando :
Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo as duas equações, descobrimos que . Substituindo em uma das equações, obtemos . Portanto, a decomposição é:

Passo 4

Substituímos a decomposição na integral original:
Podemos separar a integral em duas partes:

Passo 5

Reconhecemos que a integral é uma transformada de Fourier conhecida, que resulta em uma função exponencial. Especificamente:
onde é a função degrau de Heaviside, que é 1 para e 0 para .
Aplicando isso aos termos da nossa expressão:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar :

Resposta

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