Resolva o problema de valor inicial
l partial upartial t+2 partial upartial x=g(x) u(x, 0)=f(x), x in R

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação de valor inicial, que envolve derivadas parciais em relação ao tempo partial upartial t + 2 partial upartial x = g(x) e à posição . A equação dada é:
E a condição inicial fornecida é para todo no conjunto dos números reais .
Para resolver esse tipo de problema, vamos utilizar o método das características, uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais parciais de primeira ordem.

Passo 2

O método das características transforma a equação diferencial parcial em equações diferenciais ordinárias ao seguir caminhos específicos chamados “características”. Esses caminhos são determinadas por um sistema de equações que relacionam as derivadas de partial upartial t + 2 partial upartial x = g(x) em relação a dxdt = 2 e dudt = g(x) .
Vamos começar identificando as equações características a partir da nossa equação original:
As equações características são:

Passo 3

Vamos resolver a primeira equação característica para dxdt = 2 :
x(t) = x0 + 2t
Integrando ambos os lados em relação a , obtemos:
Aqui, é a posição inicial no tempo .

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda equação característica para dudt = g(x(t)) = g(x0 + 2t) :
u(t) = u0 + integral0^t g(x0 + 2s) , ds
Integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a condição inicial, que sabemos que é .

Passo 5

Substituímos u(x, t) = f(x - 2t) + integral0^t g(x - 2(t - s)) , ds e lembramos que (obtido da expressão para ). Assim, a solução geral fica:
Isso nos dá a expressão final para em termos das funções e .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
u(x, t) = f(x - 2t) + integral0^t g(x - 2(t - s)) , ds

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