Calcule a transformada de Fourier das funções f: R -> R :
(a) f(x) = x / (1 + x^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta fundamental na análise de sinais e sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Fourier e algumas propriedades básicas das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função é dada por:
Aqui, é a frequência angular e é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função específica . Substituindo na fórmula da transformada de Fourier, temos:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos utilizar uma técnica de integração conhecida como integração por partes. A integração por partes é útil quando temos o produto de duas funções que são mais fáceis de integrar ou derivar separadamente.
A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher e . Então, precisamos encontrar e :

Passo 5

A integral para encontrar pode ser complexa, mas sabemos que a transformada de Fourier de é uma função conhecida. De fato:
Isso é resultado de uma tabela de transformadas de Fourier padrão.

Passo 6

Usando a integração por partes, substituímos os valores encontrados:
Note que, ao avaliar os limites de tendendo a , o termo tende a zero, já que domina o crescimento de .

Passo 7

Assim, a expressão simplifica para:
Mas aqui percebemos que há um erro, pois a integral resultante não depende mais de , o que não faz sentido. Isso indica que provavelmente precisamos abordar a solução de uma outra maneira, melhor utilizando propriedades das transformadas de Fourier.

Passo 8

Outra abordagem é reconhecer que é uma função ímpar, ou seja, . Sabemos que a transformada de Fourier de uma função ímpar é puramente imaginária. Além disso, podemos utilizar a propriedade da derivada na transformada de Fourier:

Passo 9

Aplicando essa propriedade, primeiro precisamos saber a transformada de Fourier de , que já mencionamos ser . Então:

Passo 10

Calculando a derivada:
onde é a função sinal, que é 1 para e -1 para .

Passo 11

Portanto, a transformada de Fourier fica:
Simplificando:

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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