Calcule a transformada de Fourier das funções :
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta fundamental na análise de sinais e sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Fourier e algumas propriedades básicas das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função é dada por:
Aqui, é a frequência angular e é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função específica . Substituindo na fórmula da transformada de Fourier, temos:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos utilizar uma técnica de integração conhecida como integração por partes. A integração por partes é útil quando temos o produto de duas funções que são mais fáceis de integrar ou derivar separadamente.
A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher e . Então, precisamos encontrar e :
Passo 5
A integral para encontrar pode ser complexa, mas sabemos que a transformada de Fourier de é uma função conhecida. De fato:
Isso é resultado de uma tabela de transformadas de Fourier padrão.
Passo 6
Usando a integração por partes, substituímos os valores encontrados:
Note que, ao avaliar os limites de tendendo a , o termo tende a zero, já que domina o crescimento de .
Passo 7
Assim, a expressão simplifica para:
Mas aqui percebemos que há um erro, pois a integral resultante não depende mais de , o que não faz sentido. Isso indica que provavelmente precisamos abordar a solução de uma outra maneira, melhor utilizando propriedades das transformadas de Fourier.
Passo 8
Outra abordagem é reconhecer que é uma função ímpar, ou seja, . Sabemos que a transformada de Fourier de uma função ímpar é puramente imaginária. Além disso, podemos utilizar a propriedade da derivada na transformada de Fourier:
Passo 9
Aplicando essa propriedade, primeiro precisamos saber a transformada de Fourier de , que já mencionamos ser . Então: