Determine as funções
cujas transformadas de Fourier são dadas
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Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar todas as funções
cuja Transformada de Fourier é dada por
. Então, vamos trabalhar com conceitos de Transformada de Fourier e propriedades básicas dela para descobrir qual é a função
que corresponde a essa transformada.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função no domínio do tempo
para o domínio da frequência
. A Transformada de Fourier tem uma inversa, que nos permite recuperar
a partir de
.
A fórmula da Transformada de Fourier inversa é:
Então, para encontrar
, vamos usar essa fórmula substituindo
pela expressão dada.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula da Transformada de Fourier inversa:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar
.
Passo 4
Observamos que a integral envolve uma função racional multiplicada por uma exponencial complexa. Para resolver isso, podemos usar técnicas de cálculo complexo, como a integração por contornos. Mas, de forma mais simples, vamos lembrar uma propriedade da Transformada de Fourier relacionada à derivada.
Sabemos que se
, então:
No nosso caso, temos
, que pode ser pensado como
. Comparando com a propriedade, isso sugere que
está relacionado a
.
Passo 5
Vamos identificar uma transformada de Fourier conhecida. Sabemos que:
Se escolhermos
, temos:
Isso significa que
é proporcional à transformada de
. Usando a propriedade da derivada mencionada anteriormente, podemos relacionar
a essa função exponencial.
Passo 6
Voltando à propriedade
, e sabendo que
, podemos concluir que:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Considerando que estamos trabalhando com transformadas de Fourier, geralmente assumimos que as funções tendem a zero no infinito, então
.
Passo 7
Portanto, a função
é:
Onde
é a função sinal. Como discutimos,
, então temos:
Resposta
A função que satisfaz a Transformada de Fourier dada é: