Determine as funções f: R -> C cujas transformadas de Fourier são dadas
© f(w) = i*w / (1 + w^2).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar todas as funções cuja Transformada de Fourier é dada por . Então, vamos trabalhar com conceitos de Transformada de Fourier e propriedades básicas dela para descobrir qual é a função que corresponde a essa transformada.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência . A Transformada de Fourier tem uma inversa, que nos permite recuperar a partir de .
A fórmula da Transformada de Fourier inversa é:
Então, para encontrar , vamos usar essa fórmula substituindo pela expressão dada.

Passo 3

Vamos substituir na fórmula da Transformada de Fourier inversa:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar .

Passo 4

Observamos que a integral envolve uma função racional multiplicada por uma exponencial complexa. Para resolver isso, podemos usar técnicas de cálculo complexo, como a integração por contornos. Mas, de forma mais simples, vamos lembrar uma propriedade da Transformada de Fourier relacionada à derivada.
Sabemos que se , então:
No nosso caso, temos , que pode ser pensado como . Comparando com a propriedade, isso sugere que está relacionado a .

Passo 5

Vamos identificar uma transformada de Fourier conhecida. Sabemos que:
Se escolhermos , temos:
Isso significa que é proporcional à transformada de . Usando a propriedade da derivada mencionada anteriormente, podemos relacionar a essa função exponencial.

Passo 6

Voltando à propriedade , e sabendo que , podemos concluir que:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Considerando que estamos trabalhando com transformadas de Fourier, geralmente assumimos que as funções tendem a zero no infinito, então .

Passo 7

Portanto, a função é:
Onde é a função sinal. Como discutimos, , então temos:

Resposta

A função que satisfaz a Transformada de Fourier dada é:

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