Determine as funções f: R -> C cujas transformadas de Fourier são dadas
(e) f(omega) = 1/(a + i*b - i*omega), para a > 0 e b em R.

Passo 1

Beleza, a gente precisa encontrar a função cuja transformada de Fourier é dada por
onde e é um número real. Vamos usar os conceitos de transformada de Fourier e sua inversa para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para achar a função original a partir da sua transformada de Fourier , usamos a transformada inversa de Fourier. A fórmula da transformada inversa é:
Então, vamos substituir nessa equação.

Passo 3

Substituindo , temos:
Vamos simplificar o denominador para facilitar os cálculos.

Passo 4

O denominador pode ser reescrito como:
Então, a expressão para fica:
Agora, reconhecemos que essa integral é uma transformada de Fourier conhecida.

Passo 5

Sabemos que a transformada inversa de resulta em uma função exponencial multiplicada pela função de Heaviside , que é 0 para e 1 para . Usando essa propriedade, temos:
Isso significa que a função é uma exponencial complexa válida somente para .

Resposta

A função procurada é:
onde é a função de Heaviside.

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