Determine as funções
cujas transformadas de Fourier são dadas
(e)
, para
e
.
(e)
Passo 1
Beleza, a gente precisa encontrar a função
cuja transformada de Fourier é dada por
onde
e
é um número real. Vamos usar os conceitos de transformada de Fourier e sua inversa para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para achar a função original
a partir da sua transformada de Fourier
, usamos a transformada inversa de Fourier. A fórmula da transformada inversa é:
Então, vamos substituir
nessa equação.
Passo 3
Substituindo
, temos:
Vamos simplificar o denominador para facilitar os cálculos.
Passo 4
O denominador
pode ser reescrito como:
Então, a expressão para
fica:
Agora, reconhecemos que essa integral é uma transformada de Fourier conhecida.
Passo 5
Sabemos que a transformada inversa de
resulta em uma função exponencial multiplicada pela função de Heaviside
, que é 0 para
e 1 para
. Usando essa propriedade, temos:
Isso significa que a função
é uma exponencial complexa válida somente para
.
Resposta
A função procurada é:
onde
é a função de Heaviside.