Determine, usando convolução, as funções f: R -> C cujas transformadas de Fourier são dadas
(a) f(ω) = 1/((2 + i ω)(3 + i ω)).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a função cuja transformada de Fourier é dada por . Para resolver isso, vamos usar o conceito de convolução, que é uma ferramenta poderosa na análise de sinais e sistemas na área de Transformadas de Fourier.

Passo 2

A Transformada de Fourier de uma convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Fourier dessas funções individualmente. Matematicamente, isso é expresso como:
No nosso caso, temos . Podemos pensar em como a convolução de duas funções cujas transformadas de Fourier são e .

Passo 3

Vamos identificar quais funções e têm transformadas de Fourier e , respectivamente. Sabemos que:
onde é a função degrau de Heaviside e . Portanto, podemos associar:

Passo 4

Agora que identificamos e , a função será a convolução dessas duas funções:
Substituindo e :

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Substituindo de volta em :
Portanto, a função que procuramos é:

Resposta

A função é dada por:

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