Determine, usando convolução, as funções
cujas transformadas de Fourier são dadas
(a)
.
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a função
cuja transformada de Fourier é dada por
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de convolução, que é uma ferramenta poderosa na análise de sinais e sistemas na área de Transformadas de Fourier.
Passo 2
A Transformada de Fourier de uma convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Fourier dessas funções individualmente. Matematicamente, isso é expresso como:
No nosso caso, temos
. Podemos pensar em
como a convolução de duas funções cujas transformadas de Fourier são
e
.
Passo 3
Vamos identificar quais funções
e
têm transformadas de Fourier
e
, respectivamente. Sabemos que:
onde
é a função degrau de Heaviside e
. Portanto, podemos associar:
Passo 4
Agora que identificamos
e
, a função
será a convolução dessas duas funções:
Substituindo
e
:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Substituindo de volta em
:
Portanto, a função
que procuramos é:
Resposta
A função
é dada por: