Resolva a equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente resolver a seguinte equação integral:
Estamos lidando com equações integrais, que envolvem encontrar uma função desconhecida
que satisfaz a igualdade dada. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Fourier, uma ferramenta poderosa em cálculo e análise de sinais que transforma funções do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Para uma função
, a transformada de Fourier é definida como:
Essa transformação nos ajuda a converter convoluções no domínio do espaço em multiplicações no domínio da frequência, facilitando a resolução de equações integrais.
Passo 3
Observando a nossa equação, percebemos que a integral é uma convolução entre
e a função
. Vamos chamar essa segunda função de
, ou seja:
Então, a equação fica:
Passo 4
Aplicando a transformada de Fourier em ambos os lados da equação, temos:
Sabemos que a transformada de Fourier de uma convolução é o produto das transformadas individuais:
Passo 5
Agora, vamos calcular as transformadas de Fourier de
e de
.
Sabemos que:
Aplicando isso:
Para
, temos
:
E para
, temos
:
Passo 6
Substituindo as transformadas na equação:
Vamos isolar
:
Passo 7
Agora, queremos encontrar
aplicando a transformada inversa de Fourier em
:
Sabemos que:
Aplicando isso com
:
Passo 8
Portanto, substituindo de volta:
Resposta
A função
que resolve a equação dada é: