Resolva a equação
integral-infty^infty f(y)(x-y)^2+4 d y=1x^2+9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente resolver a seguinte equação integral:
integral-infty^infty f(y)(x - y)^2 + 4 , dy = 1x^2 + 9
Estamos lidando com equações integrais, que envolvem encontrar uma função desconhecida que satisfaz a igualdade dada. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Fourier, uma ferramenta poderosa em cálculo e análise de sinais que transforma funções do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Para uma função Fh(x) = integral-infty^infty h(x) e^-i k x , dx , a transformada de Fourier é definida como:
Essa transformação nos ajuda a converter convoluções no domínio do espaço em multiplicações no domínio da frequência, facilitando a resolução de equações integrais.

Passo 3

Observando a nossa equação, percebemos que a integral é uma convolução entre K(x - y) = 1(x - y)^2 + 4 e a função (f * K)(x) = 1x^2 + 9 . Vamos chamar essa segunda função de , ou seja:
Então, a equação fica:

Passo 4

Aplicando a transformada de Fourier em ambos os lados da equação, temos:
Ff * K(k) = F1x^2 + 9(k)
Sabemos que a transformada de Fourier de uma convolução é o produto das transformadas individuais:
Ff(k) cdot FK(k) = F1x^2 + 9(k)

Passo 5

Agora, vamos calcular as transformadas de Fourier de F1x^2 + a^2(k) = pia e^-a |k| e de FK(k) = pi2 e^-2 |k| .
Sabemos que:
F1x^2 + 9(k) = pi3 e^-3 |k|
Aplicando isso:
Para , temos :
E para , temos :

Passo 6

Substituindo as transformadas na equação:
Ff(k) cdot pi2 e^-2 |k| = pi3 e^-3 |k|
Vamos isolar Ff(k) = pi3 e^-3 |k|pi2 e^-2 |k| = 23 e^- |k| :

Passo 7

Agora, queremos encontrar f(x) = F^-123 e^- |k|(x) aplicando a transformada inversa de Fourier em F^-1e^- a |k|(x) = 2 aa^2 + x^2 :
F^-1e^- |k|(x) = 21 + x^2
Sabemos que:
Aplicando isso com :

Passo 8

Portanto, substituindo de volta:
f(x) = 23 cdot 21 + x^2 = 43 cdot 11 + x^2

Resposta

A função f(x) = 43 cdot 11 + x^2 que resolve a equação dada é:

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