Considere uma parte da hélice em representada por , . Calcule:
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral de linha sobre uma curva que é uma hélice no espaço tridimensional. A curva é descrita por para entre e . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que precisamos calcular: . Essa é uma integral de linha de um campo vetorial ao longo da curva . Para resolver, vamos parametrizar a curva e substituir e seus diferenciais em termos de .

Passo 3

Vamos identificar as componentes da parametrização:
Agora, precisamos derivar cada uma em relação a para encontrar :

Passo 4

Agora, substituímos na integral:
Vamos simplificar cada termo dentro da integral.

Passo 5

Simplificando os termos:
Então, a integral fica:

Passo 6

Observando os primeiros dois termos, podemos fatorar :
Usamos a identidade trigonométrica , ajustada para .
Então, a integral simplifica para:

Passo 7

Vamos dividir a integral em duas partes:
Primeiro, vamos calcular . Isso requer integração por partes.

Passo 8

Para , escolhemos:
Aplicando integração por partes:
Integrando :
Então:
Avaliado de a , notamos que e são periódicas com período , então suas contribuições serão zero:

Passo 9

Agora, calculamos a segunda integral: . Podemos usar uma identidade trigonométrica:
Então:

Resposta

Somando as duas integrais, temos . Portanto, o valor da integral é:

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