Considere
uma parte da hélice em
representada por
,
. Calcule:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral de linha sobre uma curva que é uma hélice no espaço tridimensional. A curva
é descrita por para
entre
e
. Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que precisamos calcular:
. Essa é uma integral de linha de um campo vetorial
ao longo da curva
. Para resolver, vamos parametrizar a curva e substituir
e seus diferenciais em termos de
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes da parametrização:
Agora, precisamos derivar cada uma em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Agora, substituímos
na integral:
Vamos simplificar cada termo dentro da integral.
Passo 5
Simplificando os termos:
Então, a integral fica:
Passo 6
Observando os primeiros dois termos, podemos fatorar
:
Usamos a identidade trigonométrica , ajustada para
.
Então, a integral simplifica para:
Passo 7
Vamos dividir a integral em duas partes:
Primeiro, vamos calcular
. Isso requer integração por partes.
Passo 8
Para
, escolhemos:
Aplicando integração por partes:
Integrando :
Então:
Avaliado de
a
, notamos que e
são periódicas com período
, então suas contribuições serão zero:
Passo 9
Agora, calculamos a segunda integral: . Podemos usar uma identidade trigonométrica:
Então:
Resposta
Somando as duas integrais, temos
. Portanto, o valor da integral é:
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(d)
(d)
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©
©
O intervalo de confiança sustenta a conclusão do teste de hipóteses? Justifique.
Seja
o retângulo, em
, com vértices
e
, com orientação anti-horária. Calcule:
b)
b)