Considere C uma parte da hélice em R^3 representada por r(t)=(cos 2 t, sen 2 t, t), 0 <= t <= 2 pi. Calcule:
b) integralC y z d x+x z d y+x y d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral de linha sobre uma curva que é uma hélice no espaço tridimensional. A curva é descrita por para entre e . Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que precisamos calcular: . Essa é uma integral de linha de um campo vetorial ao longo da curva . Para resolver, vamos parametrizar a curva e substituir e seus diferenciais em termos de .

Passo 3

Vamos identificar as componentes da parametrização:
Agora, precisamos derivar cada uma em relação a x(t) = cos 2t, y(t) = sen 2t, z(t) = t para encontrar dx = ddt(cos 2t) , dt = -2 sen 2t , dt :
dy = ddt(sen 2t) , dt = 2 cos 2t , dt

Passo 4

Agora, substituímos integral0^2pi [ y z cdot dx + x z cdot dy + x y cdot dz ] = integral0^2pi [ (sen 2t)(t)(-2 sen 2t) + (cos 2t)(t)(2 cos 2t) + (cos 2t)(sen 2t)(1) ] dt na integral:
Vamos simplificar cada termo dentro da integral.

Passo 5

Simplificando os termos:
(sen 2t)(t)(-2 sen 2t) = -2 t sen^2 2t
Então, a integral fica:

Passo 6

Observando os primeiros dois termos, podemos fatorar -2 t sen^2 2t + 2 t cos^2 2t = 2t (cos^2 2t - sen^2 2t) = 2t cos 4t :
Usamos a identidade trigonométrica , ajustada para integral0^2pi [ 2t cos 4t + cos 2t sen 2t ] dt .
Então, a integral simplifica para:

Passo 7

Vamos dividir a integral em duas partes:
Primeiro, vamos calcular integral0^2pi 2t cos 4t , dt + integral0^2pi cos 2t sen 2t , dt . Isso requer integração por partes.

Passo 8

Para u = 2t Rightarrow du = 2 , dt , escolhemos:
dv = cos 4t , dt Rightarrow v = sen 4t4
Aplicando integração por partes:
Integrando :
Então:
Avaliado de uv - integral v , du = 2t cdot sen 4t4 - integral sen 4t4 cdot 2 , dt = t sen 4t2 - 12 integral sen 4t , dt a integral sen 4t , dt = -cos 4t4 , notamos que e t sen 4t2 - 12 ( -cos 4t4 ) = t sen 4t2 + cos 4t8 são periódicas com período [ 2pi sen 8pi2 + cos 8pi8 ] - [ 0 cdot sen 02 + cos 08 ] = 18 - 18 = 0 , então suas contribuições serão zero:

Passo 9

Agora, calculamos a segunda integral: . Podemos usar uma identidade trigonométrica:
Então:

Resposta

Somando as duas integrais, temos 0 . Portanto, o valor da integral é:

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