Seja o retângulo, em , com vértices e , com orientação anti-horária. Calcule:
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um retângulo no plano com vértices em , , e , percorrido no sentido anti-horário. A missão é calcular a integral de linha:
Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada por . Vamos ver como aplicar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Esse teorema diz que, para um campo vetorial e uma curva fechada que delimita uma região , temos:
No nosso caso, o campo vetorial é , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:

Passo 4

Como a diferença das derivadas parciais é zero, a integral dupla sobre a região também será zero:
De acordo com o Teorema de Green, isso significa que a integral de linha original também é zero.

Passo 5

Então, concluímos que:

Resposta

A integral é igual a 0.

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b)
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(e)
Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.1):
(f) , com