Seja C o retângulo, em R^2, com vértices (-1,1),(2,1),(2,3) e (-1,3), com orientação anti-horária. Calcule:
b) integralC 2 x y d x+x^2 d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um retângulo integralC 2xy, dx + x^2, dy no plano com vértices em , , e , percorrido no sentido anti-horário. A missão é calcular a integral de linha:
Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada por . Vamos ver como aplicar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Esse teorema diz que, para um campo vetorial ointC P, dx + Q, dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA e uma curva fechada P = 2xy e Q = x^2 que delimita uma região , temos:
No nosso caso, o campo vetorial é , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^2) = 2x
partial Ppartial y = partialpartial y (2xy) = 2x
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - 2x = 0

Passo 4

Como a diferença das derivadas parciais é zero, a integral dupla sobre a região integral duplaD 0 , dA = 0 também será zero:
De acordo com o Teorema de Green, isso significa que a integral de linha original também é zero.

Passo 5

Então, concluímos que:
integralC 2xy, dx + x^2, dy = 0

Resposta

A integral é igual a 0.

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