Calcule a transformada inversa da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a transformada inversa de uma função
. Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor frações e aplicar as propriedades das transformadas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que o grau do numerador (4) é maior que o grau do denominador (2). Quando isso acontece, a primeira coisa que fazemos é dividir o numerador pelo denominador para simplificar a expressão. Isso é como simplificar uma fração onde o topo é maior que o fundo.
Passo 3
Vamos dividir
por
.
Fazendo a divisão polinomial:
-
Divisão Inicial:
-
- Multiplicamos
por e subtraímos do numerador:
-
-
Segunda Divisão:
-
- Multiplicamos
por e subtraímos:
-
-
Terceira Divisão:
-
- Multiplicamos
por e subtraímos:
-
Então, a divisão resulta em:
Passo 4
Agora, vamos focar na parte fracionária
. Para facilitar a aplicação da transformada inversa, vamos decompor essa fração em frações mais simples, chamadas de frações parciais.
Assumimos que:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agora, igualando os coeficientes:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Resolvendo, temos
e, substituindo na primeira equação:
Portanto:
Passo 5
Agora, retornando à expressão completa após a divisão:
Vamos calcular a transformada inversa de cada termo separadamente.
-
Termos Polinomiais:
-
: A transformada inversa de é uma derivada delta de ordem , mas isso pode ser complexo. Geralmente, esses termos indicam partes da solução que são respostas naturais do sistema sem forçar. -
: Similar ao acima. -
: A transformada inversa de uma constante é uma função delta de Dirac em multiplicada pela constante.
-
-
Termos Fracionários:
-
: Sabemos que , então multiplicando por 5: -
: Sabemos que , então:
-
Passo 6
Combinando tudo, temos:
Os termos
correspondem às derivadas delta de Dirac que representam respostas instantâneas, mas para simplificar, consideramos a parte principal:
Resposta
A transformada inversa de
é: