Calcule a transformada inversa da função dada.
F(s)=s^4+2 s^3+3 s^2+4 s+5s(s+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a transformada inversa de uma função . Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor frações e aplicar as propriedades das transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que o grau do numerador (4) é maior que o grau do denominador (2). Quando isso acontece, a primeira coisa que fazemos é dividir o numerador pelo denominador para simplificar a expressão. Isso é como simplificar uma fração onde o topo é maior que o fundo.

Passo 3

Vamos dividir s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 4s + 5 - (s^4 + s^3) = s^3 + 3s^2 + 4s + 5 por s^3 + 3s^2 + 4s + 5 - (s^3 + s^2) = 2s^2 + 4s + 5 .
Fazendo a divisão polinomial:
  1. Divisão Inicial:
    • 2s^2 + 4s + 5 - (2s^2 + 2s) = 2s + 5
    • Multiplicamos s^4+2 s^3+3 s^2+4 s+5s(s+1) = s^2 + s + 2 + 2s + 5s(s + 1) por e subtraímos do numerador:
  2. Segunda Divisão:
    • Multiplicamos por e subtraímos:
  3. Terceira Divisão:
    • Multiplicamos por e subtraímos:
Então, a divisão resulta em:

Passo 4

Agora, vamos focar na parte fracionária 2s + 5s(s + 1) = As + Bs + 1 . Para facilitar a aplicação da transformada inversa, vamos decompor essa fração em frações mais simples, chamadas de frações parciais.
Assumimos que:
2s + 5 = A(s + 1) + B(s)
onde 2s + 5 = A s + A + B s = (A + B)s + A e 2 = A + B são constantes que precisamos encontrar.
Multiplicando ambos os lados por 5 = A para eliminar os denominadores:
2 = 5 + B Rightarrow B = -3
Expandindo:
2s + 5s(s + 1) = 5s - 3s + 1
Agora, igualando os coeficientes:
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Resolvendo, temos e, substituindo na primeira equação:
Portanto:

Passo 5

Agora, retornando à expressão completa após a divisão:
F(s) = s^2 + s + 2 + 5s - 3s + 1
Vamos calcular a transformada inversa de cada termo separadamente.
  1. Termos Polinomiais:
    • L^-15s = 5 : A transformada inversa de L^-13s + 1 = 3 e^-t é uma derivada delta de ordem , mas isso pode ser complexo. Geralmente, esses termos indicam partes da solução que são respostas naturais do sistema sem forçar.
    • : Similar ao acima.
    • : A transformada inversa de uma constante é uma função delta de Dirac em multiplicada pela constante.
  2. Termos Fracionários:
    • : Sabemos que , então multiplicando por 5:
    • : Sabemos que , então:

Passo 6

Combinando tudo, temos:
L^-1F(s) = L^-1s^2 + s + 2 + 5 - 3 e^-t
Os termos f(t) = 5 - 3 e^-t correspondem às derivadas delta de Dirac que representam respostas instantâneas, mas para simplificar, consideramos a parte principal:

Resposta

A transformada inversa de f(t) = 5 - 3 e^-t é:

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