Considere o sistema a seguir e obtenha a função de transferência.
[l dotx1 dotx2 ] & =[rr -4 & -1 3 & -1 ][l x1 x2 ]+[l 1 1 ] u y & =[ll 1 & 0 ][l x1 x2 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função de transferência de um sistema que está descrito em forma de espaço de estados. Isso envolve conceitos de sistemas lineares e transformada de Laplace. Para resolver, vamos precisar manipular as matrizes que descrevem o sistema e aplicar a fórmula da função de transferência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes A, B, C e D do sistema dado:
A = -4 & -1 3 & -1 , B = 1 1 , C = 1 & 0 , D = 0
Aqui, D é zero porque na equação de saída não aparece um termo direto de entrada.

Passo 3

A fórmula para a função de transferência $ H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} $ em espaço de estados é:
H(s) = Y(s)U(s)
Precisamos calcular $ (sI - A)^{-1} $, onde I é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos montar a matriz $ sI - A $:
sI - A

Passo 5

Agora, vamos calcular o inverso dessa matriz. A inversa de uma matriz 2x2 $ a & b c & d $ é dada por $ \frac{1}{ad - bc} 1ad - bc d & -b -c & a $.
Então,
(sI - A)^-1 = 1(s + 4)(s + 1) - (-3)(1) s + 1 & -1 3 & s + 4
Calculando o determinante:
(s + 4)(s + 1) - (-3)(1) = s^2 + 5s + 4 + 3 = s^2 + 5s + 7
Então,
(sI - A)^-1 = 1s^2 + 5s + 7 s + 1 & -1 3 & s + 4

Passo 6

Agora, multiplicamos $ (sI - A)^{-1} $ por B:
(sI - A)^-1

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelo C e adicionamos D:
H(s) = C cdot (sI - A)^-1 B + D = 1 & 0 ss^2 + 5s + 7 s + 7s^2 + 5s + 7 + 0 = ss^2 + 5s + 7

Resposta

A função de transferência do sistema é:
H(s) = ss^2 + 5s + 7

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