Dadas as seguintes equações
obtenha a resposta
usando os métodos da transformada de Laplace.
, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada usando a transformada de Laplace. A equação é:
com
e condições iniciais
,
. Vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e usar propriedades básicas dessa transformada para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na equação:
Passo 3
Agora, aplicamos a transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que:
-
, -
, -
, -
.
Aplicando isso:
Passo 4
Substituímos as condições iniciais
e
na equação:
que simplifica para:
Passo 5
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 6
Isolamos
:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 7
Fatoramos o denominador
:
Então, a expressão de
fica:
Passo 8
Vamos decompor em frações parciais. Procuramos constantes
,
, e
tais que:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 9
Escolhemos valores de
que simplificam a equação para encontrar
,
e
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 10
Substituímos
,
e
na decomposição:
Passo 11
Aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Sabemos que:
-
, -
.
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: