Dadas as seguintes equações E / S obtenha a resposta y(t) usando os métodos da transformada de Laplace.
ddoty+3 doty+2 y=0,5 u(t), com u(t)=0,2 U(t), y(0)=0, doty(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada usando a transformada de Laplace. A equação é:
ddoty + 3 doty + 2 y = 0,5 , u(t),
com u(t) = 0,2 , U(t) e condições iniciais y(0) = 0, doty(0) = -1. Vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e usar propriedades básicas dessa transformada para encontrar y(t).

Passo 2

Primeiro, vamos substituir u(t) na equação:
ddoty + 3 doty + 2 y = 0,5 times 0,2 , U(t) Rightarrow ddoty + 3 doty + 2 y = 0,1 , U(t)

Passo 3

Agora, aplicamos a transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembrando que:
  • Ly(t) = Y(s),
  • Ldoty(t) = sY(s) - y(0),
  • Lddoty(t) = s^2 Y(s) - s y(0) - doty(0),
  • LU(t) = 1s.
Aplicando isso:
s^2 Y(s) - s y(0) - doty(0) + 3 ( s Y(s) - y(0) ) + 2 Y(s) = 0,1 times 1s

Passo 4

Substituímos as condições iniciais y(0) = 0 e doty(0) = -1 na equação:
s^2 Y(s) - s times 0 - (-1) + 3 ( s Y(s) - 0 ) + 2 Y(s) = 0,1s,
que simplifica para:
s^2 Y(s) + 1 + 3 s Y(s) + 2 Y(s) = 0,1s

Passo 5

Vamos agrupar os termos que contêm Y(s):
( s^2 + 3 s + 2 ) Y(s) + 1 = 0,1s
Subtraindo 1 de ambos os lados:
( s^2 + 3 s + 2 ) Y(s) = 0,1s - 1

Passo 6

Isolamos Y(s):
Y(s) = 0,1s - 1s^2 + 3 s + 2
Vamos simplificar o numerador:
0,1 - ss
Então:
Y(s) = 0,1 - ss (s^2 + 3 s + 2)

Passo 7

Fatoramos o denominador s^2 + 3 s + 2:
s^2 + 3 s + 2 = (s + 1)(s + 2)
Então, a expressão de Y(s) fica:
Y(s) = 0,1 - ss (s + 1)(s + 2)

Passo 8

Vamos decompor em frações parciais. Procuramos constantes A, B, e C tais que:
0,1 - ss (s + 1)(s + 2) = As + Bs + 1 + Cs + 2
Multiplicamos ambos os lados por s (s + 1)(s + 2):
0,1 - s = A (s + 1)(s + 2) + B s (s + 2) + C s (s + 1)

Passo 9

Escolhemos valores de s que simplificam a equação para encontrar A, B e C.
  • Para s = 0:
0,1 - 0 = A (0 + 1)(0 + 2) Rightarrow 0,1 = 2A Rightarrow A = 0,05
  • Para s = -1:
0,1 - (-1) = B (-1)(-1 + 2) Rightarrow 1,1 = B ( -1 )(1) Rightarrow 1,1 = -B Rightarrow B = -1,1
  • Para s = -2:
0,1 - (-2) = C (-2)(-2 + 1) Rightarrow 2,1 = C (-2)(-1) Rightarrow 2,1 = 2C Rightarrow C = 1,05

Passo 10

Substituímos A, B e C na decomposição:
Y(s) = 0,05s + -1,1s + 1 + 1,05s + 2

Passo 11

Aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar y(t):
y(t) = 0,05 cdot L^-1 1s + (-1,1) cdot L^-1 1s + 1 + 1,05 cdot L^-1 1s + 2
Sabemos que:
  • L^-1 1s = 1,
  • L^-1 1s + a = e^-a t.
Então:
y(t) = 0,05 - 1,1 , e^-t + 1,05 , e^-2 t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 0,05 - 1,1 , e^-t + 1,05 , e^-2 t

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