Considere um sistema representado pela função de transferência abaixo com entrada dada por uma função degrau
e determine a saída em regime permanente,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema representado por uma função de transferência e uma entrada em forma de degrau. Nosso objetivo aqui é encontrar a saída em regime permanente, que é basicamente o valor que a saída do sistema vai alcançar depois que tudo se estabilizar, ou seja, quando o tempo tende ao infinito.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema do Valor Final, que nos ajuda a encontrar o valor estável da saída sem precisar resolver todo o sistema no tempo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função de transferência $ G(s) $ representa. Ela relaciona a saída $ Y(s) $ com a entrada $ U(s) $ no domínio de Laplace:
Nossa entrada é um degrau escalonado dado por $ u(t) = 4 U(t) $, onde $ U(t) $ é a função degrau de Heaviside.
Passo 3
No domínio de Laplace, a transformação de uma função degrau escalonado $ A U(t) $ é $ \frac{A}{s} $. Então, a transformação da nossa entrada é:
Passo 4
Para encontrar a saída $ Y(s) $, usamos a relação da função de transferência:
Mas, na verdade, para encontrar a saída em regime permanente, não precisamos resolver toda a expressão. É aqui que entra o Teorema do Valor Final.
Passo 5
O Teorema do Valor Final nos diz que, se tivermos a transformação de Laplace da saída $ Y(s) $, o valor estável da saída no tempo $ y(\infty) $ é dado por:
Então, vamos aplicar isso.
Passo 6
Substituindo $ Y(s) $ na fórmula do Teorema do Valor Final:
Aqui, o $ s $ do limite e o $ s $ do denominador cancelam:
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite quando $ s $ tende a 0. Substituindo $ s = 0 $ na expressão:
Passo 8
Simplificando os cálculos:
Então:
Resposta
A saída em regime permanente é $ y(\infty) = \frac{28}{27} $.