Considere um sistema representado pela função de transferência abaixo com entrada dada por uma função degrau u(t)=4 U(t) e determine a saída em regime permanente, y(infty).
G(s)=Y(s)U(s)=84(3 s^2+21 s+36)(s^2+2 s+9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema representado por uma função de transferência e uma entrada em forma de degrau. Nosso objetivo aqui é encontrar a saída em regime permanente, que é basicamente o valor que a saída do sistema vai alcançar depois que tudo se estabilizar, ou seja, quando o tempo tende ao infinito.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema do Valor Final, que nos ajuda a encontrar o valor estável da saída sem precisar resolver todo o sistema no tempo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função de transferência $ G(s) $ representa. Ela relaciona a saída $ Y(s) $ com a entrada $ U(s) $ no domínio de Laplace:
G(s)
Nossa entrada é um degrau escalonado dado por $ u(t) = 4 U(t) $, onde $ U(t) $ é a função degrau de Heaviside.

Passo 3

No domínio de Laplace, a transformação de uma função degrau escalonado $ A U(t) $ é $ \frac{A}{s} $. Então, a transformação da nossa entrada é:
A U(t)

Passo 4

Para encontrar a saída $ Y(s) $, usamos a relação da função de transferência:
Y(s)
Mas, na verdade, para encontrar a saída em regime permanente, não precisamos resolver toda a expressão. É aqui que entra o Teorema do Valor Final.

Passo 5

O Teorema do Valor Final nos diz que, se tivermos a transformação de Laplace da saída $ Y(s) $, o valor estável da saída no tempo $ y(\infty) $ é dado por:
Y(s)
Então, vamos aplicar isso.

Passo 6

Substituindo $ Y(s) $ na fórmula do Teorema do Valor Final:
Y(s)
Aqui, o $ s $ do limite e o $ s $ do denominador cancelam:
y(infty) = lims to 0 s cdot 84(3 s^2 + 21 s + 36)(s^2 + 2 s + 9) cdot 4s

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando $ s $ tende a 0. Substituindo $ s = 0 $ na expressão:
s

Passo 8

Simplificando os cálculos:
36 cdot 9 = 324
Então:
y(infty) = 336324 = 2827

Resposta

A saída em regime permanente é $ y(\infty) = \frac{28}{27} $.

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