Calcule a transformada inversa da função dada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a transformada inversa de Laplace da função dada:
Isso significa que queremos encontrar uma função no domínio do tempo,
, que corresponde a
após aplicar a transformada de Laplace inversa. Para resolver isso, vamos utilizar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor a função
em termos mais simples que são mais fáceis de transformar de volta.
Passo 2
O primeiro passo na decomposição de frações parciais é expressar
como uma soma de termos mais simples. Para a nossa função, a forma geral é:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos resolver para
,
e
substituindo valores específicos de
que simplifiquem a equação.
Passo 4
Primeiro, vamos escolher
para eliminar os termos que contêm
:
Passo 5
Em seguida, escolhemos
para eliminar os termos que contêm
:
Passo 6
Para encontrar
, podemos escolher outro valor de
, como
:
Para resolver isso, vamos converter todos os termos para ter o mesmo denominador:
Passo 7
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever a decomposição de frações parciais:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
A transformada inversa de
é: