Calcule a transformada inversa da função dada.
F(s)=2 s+10(s+1)^2(s+4)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a transformada inversa de Laplace da função dada:
F(s) = 2s + 10(s + 1)^2 (s + 4)
Isso significa que queremos encontrar uma função no domínio do tempo, , que corresponde a após aplicar a transformada de Laplace inversa. Para resolver isso, vamos utilizar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor a função em termos mais simples que são mais fáceis de transformar de volta.

Passo 2

O primeiro passo na decomposição de frações parciais é expressar 2s + 10(s + 1)^2 (s + 4) = As + 1 + B(s + 1)^2 + Cs + 4 como uma soma de termos mais simples. Para a nossa função, a forma geral é:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Para encontrar os valores de 2s + 10 = A(s + 1)(s + 4) + B(s + 4) + C(s + 1)^2 , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos resolver para , e substituindo valores específicos de que simplifiquem a equação.

Passo 4

Primeiro, vamos escolher 2(-1) + 10 = A(0) + B(-1 + 4) + C(0) -2 + 10 = 3B 8 = 3B B = 83 para eliminar os termos que contêm :

Passo 5

Em seguida, escolhemos 2(-4) + 10 = A(0) + B(0) + C(-4 + 1)^2 -8 + 10 = 9C 2 = 9C C = 29 para eliminar os termos que contêm :

Passo 6

Para encontrar 2(0) + 10 = A(1)(4) + B(4) + C(1)^2 10 = 4A + 323 + 29 , podemos escolher outro valor de 10 = 4A + 323 + 29 909 = 4A + 969 + 29 909 - 989 = 4A -89 = 4A A = -29 , como :
Para resolver isso, vamos converter todos os termos para ter o mesmo denominador:

Passo 7

Agora que temos os valores de F(s) = -29 cdot 1s + 1 + 83 cdot 1(s + 1)^2 + 29 cdot 1s + 4 , e , podemos reescrever a decomposição de frações parciais:

Passo 8

Finalmente, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
  • f(t) = -29 e^-t + 83 t e^-t + 29 e^-4t
Aplicando isso aos nossos termos:

Resposta

A transformada inversa de f(t) = 83 t, e^-t - 29 e^-t + 29 e^-4t é:

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