Dadas as seguintes equações
obtenha a resposta
usando os métodos da transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! A equação que temos é:
com as condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ \dot{y}(0) = -0,5 $.
Vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais para encontrar $ y(t) $.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Substituindo as transformadas:
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ \dot{y}(0) = -0,5 $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Para facilitar, vamos completar o quadrado no denominador:
Então, a expressão fica:
Podemos reescrever o numerador para combinar com a forma padrão da transformada inversa:
Portanto:
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:
Resposta
A solução da equação diferencial é: