Dadas as seguintes equações E / S obtenha a resposta y(t) usando os métodos da transformada de Laplace.
ddoty+4 doty+20 y=0, com y(0)=2, doty(0)=-0,5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! A equação que temos é:
ddoty + 4,doty + 20,y = 0
com as condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ \dot{y}(0) = -0,5 $.
Vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais para encontrar $ y(t) $.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é:
Ldoty = sY(s) - y(0)
Lddoty = s^2Y(s) - s,y(0) - doty(0)
Aplicando isso na nossa equação:
Lddoty + 4,Ldoty + 20,Ly = L0

Passo 3

Substituindo as transformadas:
s^2Y(s) - s,y(0) - doty(0) + 4( sY(s) - y(0) ) + 20Y(s) = 0
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ \dot{y}(0) = -0,5 $:
y(0) = 2
Simplificando:
doty(0) = -0,5
s^2Y(s) - 2s - (-0,5) + 4sY(s) - 8 + 20Y(s) = 0

Passo 4

Agora, isolamos $ Y(s) $:
Y(s)
Para facilitar, vamos completar o quadrado no denominador:
Y(s) = 2s + 7,5s^2 + 4s + 20
Então, a expressão fica:
s^2 + 4s + 20 = (s + 2)^2 + 16
Podemos reescrever o numerador para combinar com a forma padrão da transformada inversa:
Y(s) = 2s + 7,5(s + 2)^2 + 16
Portanto:
2s + 7,5 = 2(s + 2) + 3,5

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-1 s + a(s + a)^2 + b^2 = e^-a t cos(bt)
L^-1 b(s + a)^2 + b^2 = e^-a t sin(bt)
Aplicando isso:
L^-1 2(s + 2)(s + 2)^2 + 16 = 2,e^-2t cos(4t)
L^-1 3,5(s + 2)^2 + 16 = 3,54,e^-2t sin(4t)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 2,e^-2t cos(4t) + 78,e^-2t sin(4t)

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