obtenha a equação diferencial escalar correspondente em termos de y e u.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações de estado e uma equação de saída. Nosso objetivo aqui é transformar tudo isso numa única equação diferencial que envolva apenas $ y $ (a saída) e $ u $ (a entrada). Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e manipulação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as matrizes que temos. A equação de estados é dada por:
$$ dotx1 dotx2 dotx3 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -3 & 3 x1 x2 x3 + 1 1 1 u
y = 1 & 0 & 0 x1 x2 x3 A
+ B
u
C çãíé
y =
$$
Aqui, $ A $ é a matriz de estados, $ B $ é a matriz de entrada, e $ C $ é a matriz de saída.
Passo 3
Nosso próximo passo é encontrar uma relação que envolva apenas $ y $ e $ u $. Para isso, vamos derivar as equações de saída e substituir as derivadas dos estados usando a equação de estados.
Primeiro, sabemos que:
y
Então, a primeira derivada de $ y $ em relação ao tempo é:
u
E a segunda derivada:
y = x1
E assim por diante até termos uma equação de terceira ordem, já que nosso sistema tem três estados.
Passo 4
Vamos expressar $ \dot{x}{1} $, $ \dot{x}{2} $ e $ \dot{x}_{3} $ usando a equação de estados:
Agora, substituímos esses resultados nas derivadas de $ y $:
$ \dot{y} = \dot{x}{1} = x{2} + u $
$ \ddot{y} = \dot{x}{2} = x{3} + u $
Precisamos expressar $ \dot{x}{3} $ em termos de $ y $ e suas derivadas. Sabemos que $ x{1} = y $, e podemos expressar $ x_{2} $ e $ x_{3} $ em termos de $ \dot{y} $ e $ \ddot{y} $:
De $ \dot{y} = x_{2} + u $, temos $ x_{2} = \dot{y} - u $
De $ \ddot{y} = x_{3} + u $, temos $ x_{3} = \ddot{y} - u $
Passo 6
Agora, vamos substituir $ x_{1} $, $ x_{2} $ e $ x_{3} $ na equação para $ \dot{x}_{3} $:
x1
Simplificando isso:
x2
x3
Passo 7
Agora, sabemos que $ \dot{x}{3} $ também pode ser derivada da definição de $ x{3} = \ddot{y} - u $:
dotx3
E, por outro lado:
x3 = ddoty - u
Então, igualando as duas expressões:
dotx3 = y - 3doty + 3ddoty + u
Passo 8
Vamos reorganizar essa equação para obter tudo em termos de $ y $ e $ u $: