Encontre a solução x(t) da equação diferencial dada.
ddotx+4 x=0, x(0)=5, dotx(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do tipo ddotx + 4x = 0 com as condições iniciais x(0) = 5 e dotx(0) = 0. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação e depois ajustar com as condições iniciais para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais familiar:
ddotx + 4x = 0
Aqui, ddotx representa a segunda derivada de x em relação ao tempo t, ou seja, d^2xdt^2.

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos a equação característica. Assumimos uma solução do tipo x(t) = e^rt, onde r é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação diferencial:
r^2 e^rt + 4 e^rt = 0
Dividindo por e^rt (que nunca é zero):
r^2 + 4 = 0
Resolvendo para r:
r^2 = -4 r = pm 2i
As raízes são complexas conjugadas r = 0 pm 2i.

Passo 4

Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
x(t) = C1 cos(2t) + C2 sin(2t)
onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos a primeira condição inicial x(0) = 5:
x(0) = C1 cos(0) + C2 sin(0) 5 = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 C1 = 5

Passo 6

Agora, usamos a segunda condição inicial dotx(0) = 0. Primeiro, encontramos a derivada de x(t):
dotx(t) = -2C1 sin(2t) + 2C2 cos(2t)
Aplicando t = 0:
dotx(0) = -2C1 cdot 0 + 2C2 cdot 1 0 = 0 + 2C2 C2 = 0

Resposta

A solução da equação diferencial é:
x(t) = 5 cos(2t)

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