Encontre a solução
da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do tipo
com as condições iniciais
e
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação e depois ajustar com as condições iniciais para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma mais familiar:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação ao tempo
, ou seja,
.
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos a equação característica. Assumimos uma solução do tipo
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação diferencial:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Resolvendo para
:
As raízes são complexas conjugadas
.
Passo 4
Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos a primeira condição inicial
:
Passo 6
Agora, usamos a segunda condição inicial
. Primeiro, encontramos a derivada de
:
Aplicando
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: