Calcule a transformada inversa da funçāo

Passo 1

Beleza, galera! A questão pede pra gente calcular a transformada inversa da função . Isso tá ligado ao conteúdo de Transformadas de Fourier, que usadas para transformar funções do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência e vice-versa. Pra resolver, vamos precisar entender o que é a transformada inversa e como aplicá-la a funções conhecidas como a função gaussiana que é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definida a transformada inversa de Fourier. Matematicamente, ela é dada por:
Aqui, é a transformada de Fourier da função original , e queremos encontrar esse .

Passo 3

Vamos substituir pela função que a gente tem, que é . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, temos que resolver essa integral. Ela é do tipo conhecida como integral de Gauss, que envolve exponenciais quadráticas. A integral geral é:
No nosso caso, e . Aplicando na fórmula:

Passo 5

Voltando à expressão de :
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A transformada inversa de é:

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Mostre que se é uma funçāo real, entāo . Em especial,
Mostre que se é uma funçāo real par, entāo sua transformada de Fourier é uma funçāo real.
Mostre que se é uma funçāo real ímpar, entāo sua transformada de Fourier é uma funçāo imaginária.