Calcule a transformada inversa da funçāo
Passo 1
Beleza, galera! A questão pede pra gente calcular a transformada inversa da função
. Isso tá ligado ao conteúdo de Transformadas de Fourier, que usadas para transformar funções do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência e vice-versa. Pra resolver, vamos precisar entender o que é a transformada inversa e como aplicá-la a funções conhecidas como a função gaussiana que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é definida a transformada inversa de Fourier. Matematicamente, ela é dada por:
Aqui,
é a transformada de Fourier da função original
, e queremos encontrar esse
.
Passo 3
Vamos substituir
pela função que a gente tem, que é
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, temos que resolver essa integral. Ela é do tipo conhecida como integral de Gauss, que envolve exponenciais quadráticas. A integral geral é:
No nosso caso,
e
. Aplicando na fórmula:
Passo 5
Voltando à expressão de
:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A transformada inversa de
é: