Mostre que se é uma funçāo real par, entāo sua transformada de Fourier é uma funçāo real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função real par, ou seja, é igual a . O objetivo aqui é mostrar que a transformada de Fourier dessa função também é uma função real. Para isso, vamos precisar entender o que são funções pares, transformadas de Fourier e como elas interagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função é par se para todo . Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo vertical.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função é definida por:
Onde representa a frequência angular.

Passo 4

Como é uma função real, podemos separar a expressividade exponencial em partes reais e imaginárias usando a fórmula de Euler:
Assim, a transformada de Fourier fica:
Observa que pode ser escrita como uma parte real ( ) e uma parte imaginária ( ).

Passo 5

Agora, como é par, ou seja, , vamos analisar a segunda integral:
Substituindo por :
Mas, pelo fato de ser uma função par, , então:
Isso só é possível se:
Portanto, a parte imaginária é zero.

Passo 6

Consequentemente, a transformada de Fourier é apenas a parte real:
Como essa integral resulta em um valor real, concluímos que é uma função real.

Resposta

Assim, demonstramos que se é uma função real par, então sua transformada de Fourier também é uma função real.

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