Mostre que se
é uma funçāo real par, entāo sua transformada de Fourier é uma funçāo real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função real par, ou seja,
é igual a
. O objetivo aqui é mostrar que a transformada de Fourier dessa função também é uma função real. Para isso, vamos precisar entender o que são funções pares, transformadas de Fourier e como elas interagem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função
é par se
para todo
. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo vertical.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função
é definida por:
Onde
representa a frequência angular.
Passo 4
Como
é uma função real, podemos separar a expressividade exponencial em partes reais e imaginárias usando a fórmula de Euler:
Assim, a transformada de Fourier fica:
Observa que
pode ser escrita como uma parte real (
) e uma parte imaginária (
).
Passo 5
Agora, como
é par, ou seja,
, vamos analisar a segunda integral:
Substituindo
por
:
Mas, pelo fato de ser uma função par,
, então:
Isso só é possível se:
Portanto, a parte imaginária
é zero.
Passo 6
Consequentemente, a transformada de Fourier
é apenas a parte real:
Como essa integral resulta em um valor real, concluímos que
é uma função real.
Resposta
Assim, demonstramos que se
é uma função real par, então sua transformada de Fourier
também é uma função real.
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Mostre que se
é uma funçāo real ímpar, entāo sua transformada de Fourier é uma funçāo imaginária.
Mostre que se
é uma funçāo real, entāo sua a parte real da tranformada de Fourier de
é uma funçāo par e a parte imaginária é ímpar