Mostre que se
é uma funçāo real ímpar, entāo sua transformada de Fourier é uma funçāo imaginária.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se
é uma função real ímpar, então sua transformada de Fourier é uma função imaginária. Vamos usar conceitos de funções pares e ímpares, além das propriedades da transformada de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função ímpar. Uma função
é ímpar se
. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier de
é dada por:
Aqui,
é a frequência angular e
é a unidade imaginária.
Passo 4
Vamos substituir
por
na integral, já que
é ímpar:
Podemos fazer uma mudança de variável: deixe
, então
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Perceba que o sinal no expoente mudou.
Passo 6
Vamos comparar com a definição original:
Então, temos que:
Isso mostra que
é uma função par no domínio da frequência.
Passo 7
Agora, vamos analisar a parte real e imaginária de
. Sabemos que para funções ímpares, a parte real da transformada de Fourier é zero, ficando apenas a parte imaginária.
Passo 8
Portanto, concluímos que se
é uma função real ímpar, então sua transformada de Fourier
é uma função imaginária.
Resposta
A transformada de Fourier de uma função real ímpar
é uma função imaginária.
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é uma funçāo real par, entāo sua transformada de Fourier é uma funçāo real.
Calcule a transformada inversa da funçāo
Mostre que se
é uma funçāo real, entāo sua a parte real da tranformada de Fourier de
é uma funçāo par e a parte imaginária é ímpar
Trace o gráfico e obtenha a representaçāo em série de Fourier das seguintes funçōes:
-
-
onde