Mostre que se é uma funçāo real ímpar, entāo sua transformada de Fourier é uma funçāo imaginária.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se é uma função real ímpar, então sua transformada de Fourier é uma função imaginária. Vamos usar conceitos de funções pares e ímpares, além das propriedades da transformada de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função ímpar. Uma função é ímpar se . Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier de é dada por:
Aqui, é a frequência angular e é a unidade imaginária.

Passo 4

Vamos substituir por na integral, já que é ímpar:
Podemos fazer uma mudança de variável: deixe , então .

Passo 5

Substituindo na integral:
Perceba que o sinal no expoente mudou.

Passo 6

Vamos comparar com a definição original:
Então, temos que:
Isso mostra que é uma função par no domínio da frequência.

Passo 7

Agora, vamos analisar a parte real e imaginária de . Sabemos que para funções ímpares, a parte real da transformada de Fourier é zero, ficando apenas a parte imaginária.

Passo 8

Portanto, concluímos que se é uma função real ímpar, então sua transformada de Fourier é uma função imaginária.

Resposta

A transformada de Fourier de uma função real ímpar é uma função imaginária.

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Mostre que se é uma funçāo real, entāo sua a parte real da tranformada de Fourier de é uma funçāo par e a parte imaginária é ímpar
Trace o gráfico e obtenha a representaçāo em série de Fourier das seguintes funçōes:
  • onde