Mostre que se é uma funçāo real, entāo . Em especial, |C-n|=|Cn|
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se a função é real, então os coeficientes são o conjugado de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier e propriedades das funções reais.
Passo 2
Primeiro, como f(t) = f(t) é real, seu valor é igual ao seu conjugado complexo. Então, podemos escrever:
sumn=-infty^infty Cn e^i omegan t = sumn=-infty^infty Cn e^i omegan t
Substituindo a série de Fourier:
Passo 3
Agora, aplicamos o conjugado à soma:
sumn=-infty^infty Cn e^i omegan t = sumn=-infty^infty Cn e^-i omegan t
Percebemos que a soma do lado direito pode ser reescrita mudando a variável de sumn=-infty^infty Cn e^i omegan t = sumn=-infty^infty C-n e^i omegan t para :
Passo 4
Como as séries são iguais para todo Cn = C-n , os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Portanto:
C-n = Cn
Rearranjando, temos:
Passo 5
Isso mostra que os coeficientes para índices opostos são conjugados. Além disso, tomando o módulo de ambos os lados: