Mostre que se é uma funçāo real, entāo . Em especial,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se a função é real, então os coeficientes são o conjugado de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier e propriedades das funções reais.

Passo 2

Primeiro, como é real, seu valor é igual ao seu conjugado complexo. Então, podemos escrever:
Substituindo a série de Fourier:

Passo 3

Agora, aplicamos o conjugado à soma:
Percebemos que a soma do lado direito pode ser reescrita mudando a variável de para :

Passo 4

Como as séries são iguais para todo , os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Portanto:
Rearranjando, temos:

Passo 5

Isso mostra que os coeficientes para índices opostos são conjugados. Além disso, tomando o módulo de ambos os lados:

Resposta

e

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