Mostre que se f(t)=sumn=-infty^infty Cn e^i wn t é uma funçāo real, entāo C-n=Cn. Em especial, |C-n|=|Cn|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se a função é real, então os coeficientes são o conjugado de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier e propriedades das funções reais.

Passo 2

Primeiro, como f(t) = f(t) é real, seu valor é igual ao seu conjugado complexo. Então, podemos escrever:
sumn=-infty^infty Cn e^i omegan t = sumn=-infty^infty Cn e^i omegan t
Substituindo a série de Fourier:

Passo 3

Agora, aplicamos o conjugado à soma:
sumn=-infty^infty Cn e^i omegan t = sumn=-infty^infty Cn e^-i omegan t
Percebemos que a soma do lado direito pode ser reescrita mudando a variável de sumn=-infty^infty Cn e^i omegan t = sumn=-infty^infty C-n e^i omegan t para :

Passo 4

Como as séries são iguais para todo Cn = C-n , os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Portanto:
C-n = Cn
Rearranjando, temos:

Passo 5

Isso mostra que os coeficientes para índices opostos são conjugados. Além disso, tomando o módulo de ambos os lados:
|C-n| = |Cn| = |Cn|

Resposta

e

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