Calcule a transformada inversa de Laplace.
F(s) = 1 / (s * (s^2 - 1));

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace da função . Isso é parte do estudo das Transformadas de Laplace, que ajudam a passar de funções no domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais, uma técnica que nos permite decompor funções complexas em frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr em frações parciais. A ideia aqui é escrever essa função como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de transformar de volta para o domínio do tempo. Então, temos:
Aqui, , e são constantes que vamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de , e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por , assim eliminamos os denominadores:
Vamos escolher valores específicos de para facilitar a resolução.

Passo 4

Primeiro, escolhemos :
Agora, escolhemos :
Por fim, escolhemos :

Passo 5

Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:

Resposta

Portanto, a transformada inversa de é:

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