Calcule a transformada inversa de Laplace.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace da função
. Isso é parte do estudo das Transformadas de Laplace, que ajudam a passar de funções no domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais, uma técnica que nos permite decompor funções complexas em frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr
em frações parciais. A ideia aqui é escrever essa função como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de transformar de volta para o domínio do tempo. Então, temos:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
, assim eliminamos os denominadores:
Vamos escolher valores específicos de
para facilitar a resolução.
Passo 4
Primeiro, escolhemos
:
Agora, escolhemos
:
Por fim, escolhemos
:
Passo 5
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 6
Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
Portanto, a transformada inversa de
é: