Determine a transformada de Laplace de
.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Transformada de Laplace. A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
, que é definida assim:
Para isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Laplace e as propriedades de funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo
para uma função no domínio da frequência
:
No nosso caso, como a função
é zero de 0 a 2, a integral só vai começar a valer a partir de
.
Passo 3
Então, podemos reescrever a transformada de Laplace considerando que
para
:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos fazer
, então quando
,
, e quando
,
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Simplificando o termo
:
Passo 6
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Passo 7
Resolvendo cada integral separadamente. Primeiro, sabemos que:
E para
, usamos a propriedade da Transformada de Laplace que diz:
Então:
Passo 8
Substituindo de volta:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é: