Determine a transformada de Laplace de f(t).
f(t) = {0, 0 <= t < 2; t, t >= 2};

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Transformada de Laplace. A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função , que é definida assim:
Para isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Laplace e as propriedades de funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo para uma função no domínio da frequência :
No nosso caso, como a função é zero de 0 a 2, a integral só vai começar a valer a partir de .

Passo 3

Então, podemos reescrever a transformada de Laplace considerando que para :

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos fazer , então quando , , e quando , . Assim, a integral fica:

Passo 5

Simplificando o termo :

Passo 6

Agora, vamos separar a integral em duas partes:

Passo 7

Resolvendo cada integral separadamente. Primeiro, sabemos que:
E para , usamos a propriedade da Transformada de Laplace que diz:
Então:

Passo 8

Substituindo de volta:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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