Use o Primeiro Teorema do Deslocamento para calcular:
;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pediu. A gente precisa usar o Primeiro Teorema do Deslocamento para calcular a transformada de Laplace de
. Isso envolve conhecer um pouco sobre transformadas de Laplace e como aplicar o teorema para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. É uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo
em funções de uma variável complexa
. Ela é muito útil para resolver equações diferenciais.
Passo 3
Agora, o Primeiro Teorema do Deslocamento diz que:
Onde
é a transformada de Laplace,
é a função original, e
é a transformada de Laplace de
.
Passo 4
No nosso caso, a função
é
. Então, precisamos primeiro encontrar a transformada de Laplace de
.
Passo 5
Para facilitar, vamos usar uma identidade trigonométrica que expressa
em termos de funções mais simples:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Passo 7
Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Passo 8
Substituindo essas transformadas na equação anterior:
Passo 9
Agora que temos
, aplicamos o Primeiro Teorema do Deslocamento substituindo
por
:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: