Use o Primeiro Teorema do Deslocamento para calcular:
L(e^(a t) cos^2(t));

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pediu. A gente precisa usar o Primeiro Teorema do Deslocamento para calcular a transformada de Laplace de . Isso envolve conhecer um pouco sobre transformadas de Laplace e como aplicar o teorema para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. É uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo em funções de uma variável complexa . Ela é muito útil para resolver equações diferenciais.

Passo 3

Agora, o Primeiro Teorema do Deslocamento diz que:
Onde é a transformada de Laplace, é a função original, e é a transformada de Laplace de .

Passo 4

No nosso caso, a função é . Então, precisamos primeiro encontrar a transformada de Laplace de .

Passo 5

Para facilitar, vamos usar uma identidade trigonométrica que expressa em termos de funções mais simples:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:

Passo 7

Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Passo 8

Substituindo essas transformadas na equação anterior:

Passo 9

Agora que temos , aplicamos o Primeiro Teorema do Deslocamento substituindo por :

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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