Calcule a transformada de Laplace.
f(t) = t^2 sen(k t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada de Laplace da função . A gente vai usar conceitos de transformadas de Laplace, que ajudam a transformar funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando resolver equações diferenciais, por exemplo. Para isso, vamos precisar aplicar algumas propriedades das transformadas, como a da função seno e a da multiplicação por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da transformada de Laplace. A transformada de uma função é dada por:
Isso significa que a transformada de Laplace converte a função em termos de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace da função seno, que é uma das funções básicas. Sabemos que:
Isso será útil, já que nossa função é .

Passo 4

Temos que lidar com o termo multiplicando a função seno. Para isso, vamos usar uma propriedade das transformadas de Laplace que diz:
No nosso caso, , então:
Como , simplificamos para:

Passo 5

Agora, vamos calcular a primeira derivada da função em relação a :

Passo 6

Em seguida, calculamos a segunda derivada da mesma função:
Simplificando os termos, chegamos a:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de é:

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