Calcule a transformada inversa de Laplace.
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Passo 1
Beleza, pessoal! A gente tem aqui um exercício que pede para calcular a transformada inversa de Laplace da função
, onde
. Vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, especialmente a parte que trata da transformada inversa. Para isso, vamos precisar entender como decompor frações parciais para facilitar a aplicação das fórmulas de transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor
em frações parciais. Isso significa que queremos escrever
como a soma de termos mais simples, que a transformada inversa é mais fácil de encontrar. A fórmula geral para decomposição de frações parciais nesse caso é:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, temos:
Vamos escolher valores específicos para
que simplifiquem a resolução:
- Se
:
- Se
:
Então, os valores encontrados são:
Passo 4
Com os valores de
e
determinados, podemos reescrever
como:
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Passo 5
Aplicando as transformadas inversas, temos:
Resposta
A transformada inversa de
é: