Calcule a transformada inversa de Laplace.
F(s) = 1 / (s (s - a)), a ≠ 0;

Passo 1

Beleza, pessoal! A gente tem aqui um exercício que pede para calcular a transformada inversa de Laplace da função , onde . Vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, especialmente a parte que trata da transformada inversa. Para isso, vamos precisar entender como decompor frações parciais para facilitar a aplicação das fórmulas de transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor em frações parciais. Isso significa que queremos escrever como a soma de termos mais simples, que a transformada inversa é mais fácil de encontrar. A fórmula geral para decomposição de frações parciais nesse caso é:
Onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de e . Multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores, temos:
Vamos escolher valores específicos para que simplifiquem a resolução:
  1. Se :
  1. Se :
Então, os valores encontrados são:

Passo 4

Com os valores de e determinados, podemos reescrever como:
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:

Passo 5

Aplicando as transformadas inversas, temos:

Resposta

A transformada inversa de é:

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