Calcule a transformada inversa de Laplace de
.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace de
, onde
é diferente de
. Isso está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, mais especificamente usando frações parciais para simplificar a expressão. Para resolver, vamos precisar dividir
em frações mais simples que a gente já sabe a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor
em frações parciais. A ideia é escrever
como a soma de duas frações simples:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos fazer isso escolhendo valores específicos para
que simplificam a equação.
Primeiro, vamos deixar
:
Em seguida, deixamos
:
Passo 4
Agora que temos
e
, substituímos de volta na decomposição inicial:
Passo 5
Para encontrar a transformada inversa de Laplace, usamos a tabela de transformadas conhecidas. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa expressão: