Calcule a transformada inversa de Laplace de
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a transformada inversa de Laplace de
. Isso está relacionado ao estudo de transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão 2. Esses números são 3 e -1. Então, podemos escrever:
Agora, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor
em frações parciais. Procuramos escrever
na forma:
Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum
:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
Primeiro, deixe
:
Segundo, deixe
:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 6
Para encontrar a transformada inversa de Laplace, vamos usar a propriedade básica que diz:
Aplicando isso a cada termo:
Resposta
Portanto, a transformada inversa de Laplace de
é: