Determine a transformada de Laplace de f(t).
f(t) = senh(a t);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a transformada de Laplace da função . Então, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da definição da transformada de Laplace e da fórmula específica para a transformada da função seno hiperbólico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, a transformada de Laplace de uma função é definida por:
Essa integral transforma a função do domínio do tempo para o domínio da frequência .

Passo 3

Agora, vamos focar na função que precisamos transformar: . A função seno hiperbólico é definida por:
Sabendo disso, podemos usar a linearidade da transformada de Laplace para separar essa expressão.

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace na função :
Sabemos que a transformada de é , desde que .

Passo 5

Aplicando essa regra:
Substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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