Determine a transformada de Laplace de
.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a transformada de Laplace da função
. Então, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da definição da transformada de Laplace e da fórmula específica para a transformada da função seno hiperbólico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, a transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Essa integral transforma a função do domínio do tempo
para o domínio da frequência
.
Passo 3
Agora, vamos focar na função que precisamos transformar:
. A função seno hiperbólico é definida por:
Sabendo disso, podemos usar a linearidade da transformada de Laplace para separar essa expressão.
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace na função
:
Sabemos que a transformada de
é
, desde que
.
Passo 5
Aplicando essa regra:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: