Resolva o PVI, usando transformada de Laplace.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a equação
com as condições iniciais
e
. Pra resolver isso com a Transformada de Laplace, a gente vai transformar a equação diferencial em uma equação algébrica, resolver para a transformada de
, e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace pra achar a solução
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembre-se que:
Então, aplicando a transformada na nossa equação:
Substituindo pelas fórmulas:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos com
:
Passo 4
Isolando
:
Passo 5
Agora, precisamos fatorar o denominador
. Vamos achar as raízes da equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Então, podemos fatorar:
Passo 6
Agora, nossa expressão para
fica:
Vamos decompor isso em frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Para encontrar
e
, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
Primeiro, deixe
:
Agora, deixe
:
Passo 8
Então, temos:
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
: