Resolva o PVI, usando transformada de Laplace.
y'' + 2y' - 8y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 8;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a equação com as condições iniciais e . Pra resolver isso com a Transformada de Laplace, a gente vai transformar a equação diferencial em uma equação algébrica, resolver para a transformada de , e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace pra achar a solução .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembre-se que:
Então, aplicando a transformada na nossa equação:
Substituindo pelas fórmulas:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos com :

Passo 4

Isolando :

Passo 5

Agora, precisamos fatorar o denominador . Vamos achar as raízes da equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Então, podemos fatorar:

Passo 6

Agora, nossa expressão para fica:
Vamos decompor isso em frações parciais. Procuramos constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Para encontrar e , vamos escolher valores de que simplifiquem a equação.
Primeiro, deixe :
Agora, deixe :

Passo 8

Então, temos:
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar :

Resposta

Exercícios relacionados