Esboce o gráfico de , escreva em termos da função degrau unitário e calcule a transformada de Laplace de . .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa esboçar o gráfico da função , reescrevê-la usando a função degrau unitário , e depois calcular a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar entender como a função degrau unitário funciona e como aplicá-la na transformação de funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o gráfico de . A função está definida em três partes:
Para :. Isso significa que, nesse intervalo, a função está no nível zero.
Para :. Aqui, a função começa a crescer linearmente a partir de zero quando chega a 1.
Para :. Depois de , a função se mantém constante em 1.
Vamos esboçar isso:
De 0 a 1, a função está em 0.
De 1 a 2, ela aumenta de 0 até 1.
A partir de 2, ela fica constante em 1.
(Substitua pelo gráfico correspondente)
Passo 3
Agora, vamos reescrever usando a função degrau unitário . A função degrau unitário é definida como:
Queremos construir combinando essas funções de degrau para representar as mudanças nos intervalos de .
Para :
De 0 a 1:
De 1 a 2:
A partir de 2:
Podemos expressar isso assim:
Explicando:
ativa a parte a partir de .
desativa a parte a partir de e ativa o valor constante 1.
Passo 4
Agora que temos em termos de funções de degrau, vamos calcular a transformada de Laplace. Lembrando que a transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.