Esboce o gráfico de f(t), escreva f(t) em termos da função degrau unitário e calcule a transformada de Laplace de f(t).
f(t) = { 0, 0 <= t < 1; t - 1, 1 <= t < 2; 1, t >= 2 }.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa esboçar o gráfico da função , reescrevê-la usando a função degrau unitário , e depois calcular a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar entender como a função degrau unitário funciona e como aplicá-la na transformação de funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o gráfico de . A função está definida em três partes:
  1. Para : . Isso significa que, nesse intervalo, a função está no nível zero.
  2. Para : . Aqui, a função começa a crescer linearmente a partir de zero quando chega a 1.
  3. Para : . Depois de , a função se mantém constante em 1.
Vamos esboçar isso:
  • De 0 a 1, a função está em 0.
  • De 1 a 2, ela aumenta de 0 até 1.
  • A partir de 2, ela fica constante em 1.
Gráfico de f(t) (Substitua pelo gráfico correspondente)

Passo 3

Agora, vamos reescrever usando a função degrau unitário . A função degrau unitário é definida como:
Queremos construir combinando essas funções de degrau para representar as mudanças nos intervalos de .
Para :
  1. De 0 a 1:
  2. De 1 a 2:
  3. A partir de 2:
Podemos expressar isso assim:
Explicando:
  • ativa a parte a partir de .
  • desativa a parte a partir de e ativa o valor constante 1.

Passo 4

Agora que temos em termos de funções de degrau, vamos calcular a transformada de Laplace. Lembrando que a transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.
A transformada de Laplace da função é dada por:
Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Transformada de :
  1. Transformada de :
  1. Transformada de :
Agora, combinando tudo:
Podemos simplificar:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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