Calcule a Transformada Inversa de Laplace da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada Inversa de Laplace juntos! A questão pede para calcular a transformada inversa de
. Vamos precisar usar fatoração de polinômios e frações parciais para simplificar a expressão, e depois aplicar as propriedades da Transformada de Laplace para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso parece um pouco complicado, mas conseguimos reconhecer que é uma diferença de quadrados. Lembra que
? Então, aplicando isso aqui:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos reescrever a função
usando frações parciais. Ou seja, queremos expressar:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos igualar os numeradores:
Vamos escolher valores de
que simplificam a equação. Por exemplo:
- Se
:
- Se
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
de volta na expressão das frações parciais:
Passo 6
Agora, vamos lembrar das transformadas inversas conhecidas:
No nosso caso,
, então
.
Passo 7
Aplicando essas transformadas inversas:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
A Transformada Inversa de Laplace da função
é: