Calcule a Transformada Inversa de Laplace da função F(s).
F(s) = 1 / (s^4 - 9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada Inversa de Laplace juntos! A questão pede para calcular a transformada inversa de . Vamos precisar usar fatoração de polinômios e frações parciais para simplificar a expressão, e depois aplicar as propriedades da Transformada de Laplace para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso parece um pouco complicado, mas conseguimos reconhecer que é uma diferença de quadrados. Lembra que ? Então, aplicando isso aqui:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos reescrever a função usando frações parciais. Ou seja, queremos expressar:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar e , vamos igualar os numeradores:
Vamos escolher valores de que simplificam a equação. Por exemplo:
  • Se :
  • Se :

Passo 5

Agora, substituímos e de volta na expressão das frações parciais:

Passo 6

Agora, vamos lembrar das transformadas inversas conhecidas:
No nosso caso, , então .

Passo 7

Aplicando essas transformadas inversas:

Passo 8

Simplificando a expressão:

Resposta

A Transformada Inversa de Laplace da função é:

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