Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique: sumn=1^infty 15 n-1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir se a série sumn=1^infty 15n-1 converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo das séries infinitas, mais especificamente ao teste de divergência que ajuda a determinar o comportamento de séries desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma série converger ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos tende a um valor finito quando somamos até o infinito. Caso contrário, dizemos que ela diverge.

Passo 3

Para analisar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Série de Termos (também conhecido como Teste da Divergência). Esse teste diz que se o limite do termo geral limn to infty an não for zero, a série diverge. Já se for zero, o teste é inconclusivo, e precisamos de outro método.

Passo 4

Vamos calcular o limite do termo geral da nossa série:
an = 15n - 1
Então,
limn to infty 15n - 1 = limn to infty 15n = 0
O limite é zero, então o teste da divergência não nos dá uma resposta definitiva. Precisamos tentar outro método.

Passo 5

Vamos comparar a série dada com uma série p, que tem a forma sumn=1^infty 1n^p. Sabemos que a série p converge se p > 1 e diverge se p <= 1.

Passo 6

No nosso caso, podemos simplificar o termo geral da série:
15n - 1 approx 15n
Isso porque, para valores grandes de n, o -1 se torna irrelevante. Então, podemos comparar nossa série com:
sumn=1^infty 15n = 15 sumn=1^infty 1n

Passo 7

A série sumn=1^infty 1n é a série harmônica, que é um caso especial da série p com p=1. Sabemos que a série harmônica diverge.

Passo 8

Como sumn=1^infty 15n é apenas uma constante ( 15) multiplicada por uma série divergente, ela também diverge. Portanto, nossa série original sumn=1^infty 15n - 1 também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 15n - 1 é divergente.

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