Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo das séries infinitas, mais especificamente ao teste de divergência que ajuda a determinar o comportamento de séries desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma série converger ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos tende a um valor finito quando somamos até o infinito. Caso contrário, dizemos que ela diverge.
Passo 3
Para analisar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Série de Termos (também conhecido como Teste da Divergência). Esse teste diz que se o limite do termo geral
não for zero, a série diverge. Já se for zero, o teste é inconclusivo, e precisamos de outro método.
Passo 4
Vamos calcular o limite do termo geral da nossa série:
Então,
O limite é zero, então o teste da divergência não nos dá uma resposta definitiva. Precisamos tentar outro método.
Passo 5
Vamos comparar a série dada com uma série p, que tem a forma
. Sabemos que a série p converge se
e diverge se
.
Passo 6
No nosso caso, podemos simplificar o termo geral da série:
Isso porque, para valores grandes de
, o
se torna irrelevante. Então, podemos comparar nossa série com:
Passo 7
A série
é a série harmônica, que é um caso especial da série p com
. Sabemos que a série harmônica diverge.
Passo 8
Como
é apenas uma constante (
) multiplicada por uma série divergente, ela também diverge. Portanto, nossa série original
também diverge.
Resposta
A série
é divergente.