Verifique se a série abaixo é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma:
1/3 - 4/9 + 8/27 - 16/81 ...

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é verificar se essa série é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos calcular a soma dessa série. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de série geométrica e a fórmula para a soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica é aquela em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, chamada de razão da série.
Observando os termos:
Podemos ver que cada termo é obtido multiplicando o anterior por :
Assim, a razão da série é .

Passo 3

Para uma série geométrica infinita ser convergente, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1. Vamos verificar isso:
Como , o critério para convergência não é atendido.

Passo 4

Como o valor absoluto da razão é maior que 1, concluímos que a série é divergente. Isso significa que a soma dos termos dessa série não se aproxima de um valor finito à medida que adicionamos mais termos.

Resposta

A série é divergente.

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