Verifique se a série abaixo é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é verificar se essa série é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos calcular a soma dessa série. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de série geométrica e a fórmula para a soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica é aquela em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, chamada de razão da série.
Observando os termos:
Podemos ver que cada termo é obtido multiplicando o anterior por :
Assim, a razão da série é .
Passo 3
Para uma série geométrica infinita ser convergente, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1. Vamos verificar isso:
Como , o critério para convergência não é atendido.
Passo 4
Como o valor absoluto da razão é maior que 1, concluímos que a série é divergente. Isso significa que a soma dos termos dessa série não se aproxima de um valor finito à medida que adicionamos mais termos.