Calcule a Transformada de Laplace da função f(t), usando a definição:
l Lf(t)=integral0^infty e^-s t f(t) d t f(t)=e^t+7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a Transformada de Laplace da função Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt . A Transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que ajuda a resolver equações diferenciais mais facilmente. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace:

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função Lf(t) = integral0^infty e^-s t e^t+7 , dt na definição. Nossa função é , então:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que Lf(t) = e^7 integral0^infty e^-s t e^t , dt , então:

Passo 4

Agora, vamos combinar os exponenciais. Lf(t) = e^7 integral0^infty e^(1 - s) t , dt . Assim, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, precisamos lembrar que:
integral0^infty e^a t , dt = 1-a se a < 0
No nosso caso, . Para a integral convergir, deve ser negativo, ou seja, .

Passo 6

Aplicando a fórmula da integral:
integral0^infty e^(1 - s) t , dt = 1s - 1

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta na expressão da Transformada de Laplace:
Lf(t) = e^7 cdot 1s - 1 = e^7s - 1

Resposta

A Transformada de Laplace da função Lf(t) = e^7s - 1 para s > 1 é:

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