Calcule a Transformada de Laplace da função
, usando a definição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a Transformada de Laplace da função
. A Transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que ajuda a resolver equações diferenciais mais facilmente. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace:
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a função
na definição. Nossa função é
, então:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos combinar os exponenciais.
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, precisamos lembrar que:
No nosso caso,
. Para a integral convergir,
deve ser negativo, ou seja,
.
Passo 6
Aplicando a fórmula da integral:
Passo 7
Finalmente, substituímos de volta na expressão da Transformada de Laplace:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é: