Verifique, por substituição, que as funções dadas são soluções das equações diferenciais: x dy/dx - y = x^2;
y(x) = 3 x + x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar, por substituição, se a função é uma solução da equação diferencial . Isso envolve entender um pouco sobre equações diferenciais e como substituir a função dada na equação para ver se ela satisfaz a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . A derivada nos mostra a taxa de variação da função. Então, vamos derivar :

Passo 3

Agora que temos , vamos substituir e na equação diferencial original :
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar o lado esquerdo da igualdade:
Então:
Simplificando mais:

Resposta

Como chegamos a , que é uma igualdade verdadeira, isso confirma que a função é realmente uma solução da equação diferencial .

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