integral duplaR sen(x-y) d A, R=(x, y) mid 0 <= x <= pi / 2,0 <= y <= pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla de sen(x - y) sobre a região R, onde tanto x quanto y variam de 0 a π/2. Isso envolve entender integrais múltiplas e como resolver integrais de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos decidir a ordem de integração. Podemos integrar em relação a y primeiro e depois em relação a x, ou vice-versa. Aqui, vamos integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 3

Escrevemos a integral dupla assim:
integral0^pi/2 ( integral0^pi/2 sin(x - y) , dy ) dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna: integralx^x - pi/2 sin(t) , (-dt) = integralx - pi/2^x sin(t) , dt . Para isso, fazemos uma substituição para facilitar:
Seja , então .
Quando , .
Quando , .
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, integramos integral sin(t) , dt = -cos(t) + C :
-cos(x) + cos(x - pi2)
Aplicando os limites:
-cos(x) + sin(x)
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^pi/2 ( -cos(x) + sin(x) ) dx = -integral0^pi/2 cos(x) , dx + integral0^pi/2 sin(x) , dx

Passo 7

Calculamos cada integral separadamente:
-integral cos(x) , dx = -sin(x) + C
integral sin(x) , dx = -cos(x) + C
Aplicando os limites de 0 a π/2:
Para -sin(pi2) + sin(0) = -1 + 0 = -1 :
-cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1
Para -1 + 1 = 0 :
Somando os resultados:

Resposta

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