Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla de sen(x - y) sobre a região R, onde tanto x quanto y variam de 0 a π/2. Isso envolve entender integrais múltiplas e como resolver integrais de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos decidir a ordem de integração. Podemos integrar em relação a y primeiro e depois em relação a x, ou vice-versa. Aqui, vamos integrar primeiro em y e depois em x.
Passo 3
Escrevemos a integral dupla assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna:
. Para isso, fazemos uma substituição para facilitar:
Seja
, então
.
Quando
,
.
Quando
,
.
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, integramos
:
Aplicando os limites:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Passo 7
Calculamos cada integral separadamente:
Aplicando os limites de 0 a π/2:
Para
:
Para
:
Somando os resultados:
Resposta
0