Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
10)
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Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é calcular a transformada inversa de Laplace da função
. Essa questão está no campo das Transformadas de Laplace, que são ferramentas super úteis para resolver equações diferenciais e problemas de engenharia. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace e entender como lidar com funções logarítmicas nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada inversa de Laplace, denotada por
, nos permite encontrar a função no domínio do tempo a partir da sua representação no domínio de
. A função que temos é
.
Uma técnica útil aqui é reescrever essa expressão usando propriedades dos logaritmos:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante da transformada inversa de Laplace relacionada ao logaritmo:
Essa propriedade nos diz como lidar com a transformada inversa de uma função logarítmica no domínio de
.
Passo 4
Aplicando essa propriedade às duas partes da nossa expressão, temos:
Note que no segundo termo, o sinal dentro do logaritmo mudou, mas a propriedade ainda se aplica da mesma forma.
Passo 5
Agora, juntando os resultados das duas transformadas inversas, temos:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Resposta
A transformada inversa de
é: