Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
10) ln((s+2)/(s-5))

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é calcular a transformada inversa de Laplace da função . Essa questão está no campo das Transformadas de Laplace, que são ferramentas super úteis para resolver equações diferenciais e problemas de engenharia. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace e entender como lidar com funções logarítmicas nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada inversa de Laplace, denotada por , nos permite encontrar a função no domínio do tempo a partir da sua representação no domínio de . A função que temos é .
Uma técnica útil aqui é reescrever essa expressão usando propriedades dos logaritmos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante da transformada inversa de Laplace relacionada ao logaritmo:
Essa propriedade nos diz como lidar com a transformada inversa de uma função logarítmica no domínio de .

Passo 4

Aplicando essa propriedade às duas partes da nossa expressão, temos:
Note que no segundo termo, o sinal dentro do logaritmo mudou, mas a propriedade ainda se aplica da mesma forma.

Passo 5

Agora, juntando os resultados das duas transformadas inversas, temos:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Resposta

A transformada inversa de é:

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