Verifique que a sequência (a_n)_{n ∈ N}, dada por a_n = raiz[n](n). converge para 1 .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma sequência matemática definida por , que significa a raiz n-ésima de n. O objetivo é mostrar que, conforme n fica cada vez maior, se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de potências e raízes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com limites. Sabemos que a raiz n-ésima de um número pode ser escrita como uma potência com expoente fracionário. Então:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite de quando tende ao infinito, ou seja, . Para isso, vamos usar logaritmos, porque eles ajudam a lidar com potências complicadas.
Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz , temos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o limite de quando vai para o infinito:
Sabemos que, conforme cresce, cresce, mas muito mais devagar que . Matemáticos já provaram que:
Isso significa que:

Passo 5

Agora que sabemos que o limite do logaritmo de é zero, podemos voltar à nossa sequência original. Como tende a zero, isso implica que está se aproximando de , já que .

Resposta

Portanto, a sequência converge para 1 quando tende ao infinito.

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