Verifique que a sequência
, dada por
. converge para 1 .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma sequência matemática definida por
, que significa a raiz n-ésima de n. O objetivo é mostrar que, conforme n fica cada vez maior,
se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de potências e raízes. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com limites. Sabemos que a raiz n-ésima de um número pode ser escrita como uma potência com expoente fracionário. Então:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito, ou seja,
. Para isso, vamos usar logaritmos, porque eles ajudam a lidar com potências complicadas.
Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, temos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o limite de
quando
vai para o infinito:
Sabemos que, conforme
cresce,
cresce, mas muito mais devagar que
. Matemáticos já provaram que:
Isso significa que:
Passo 5
Agora que sabemos que o limite do logaritmo de
é zero, podemos voltar à nossa sequência original. Como
tende a zero, isso implica que
está se aproximando de
, já que
.
Resposta
Portanto, a sequência
converge para 1 quando
tende ao infinito.
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dada por
, centrada em
. Qual é o seu raio de convergência? Justifique suas respostas.