Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
-
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Transformada de Laplace, que faz parte do estudo de Equações Diferenciais e Análise de Sistemas. A gente precisa encontrar a transformada inversa da função
. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para facilitar a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador:
. Precisamos fatorar esse polinômio para simplificar a fração. Para isso, vamos tentar encontrar as raízes do polinômio, ou seja, os valores de
que fazem o denominador igual a zero.
Passo 3
Vamos testar algumas possíveis raízes. Testando
:
. Então,
é uma raiz.
Passo 4
Agora que sabemos que
é um fator, vamos fazer a divisão polinomial para encontrar os outros fatores. Dividindo
por
, obtemos
.
Passo 5
Agora, vamos fatorar
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Assim,
.
Passo 6
Então, o denominador completo fatorado é
. Agora, nossa função fica:
Vamos usar frações parciais para decompor essa expressão.
Passo 7
Escrevemos a fração como:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, vamos escolher valores de
para resolver para
,
e
.
Passo 9
Primeiro, vamos escolher
:
Passo 10
Agora, escolhemos
:
Passo 11
Por fim, escolhemos
:
Passo 12
Agora que temos
,
e
, podemos reescrever a função original:
Passo 13
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
Usando isso, temos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A transformada inversa de
é: