Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Transformada de Laplace, que faz parte do estudo de Equações Diferenciais e Análise de Sistemas. A gente precisa encontrar a transformada inversa da função . Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para facilitar a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador: . Precisamos fatorar esse polinômio para simplificar a fração. Para isso, vamos tentar encontrar as raízes do polinômio, ou seja, os valores de que fazem o denominador igual a zero.
Passo 3
Vamos testar algumas possíveis raízes. Testando : . Então, é uma raiz.
Passo 4
Agora que sabemos que é um fator, vamos fazer a divisão polinomial para encontrar os outros fatores. Dividindo por , obtemos .
Passo 5
Agora, vamos fatorar . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Assim, .
Passo 6
Então, o denominador completo fatorado é . Agora, nossa função fica:
Vamos usar frações parciais para decompor essa expressão.
Passo 7
Escrevemos a fração como:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, vamos escolher valores de para resolver para , e .
Passo 9
Primeiro, vamos escolher :
Passo 10
Agora, escolhemos :
Passo 11
Por fim, escolhemos :
Passo 12
Agora que temos , e , podemos reescrever a função original:
Passo 13
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente. Sabemos que: