Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
  1. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Transformada de Laplace, que faz parte do estudo de Equações Diferenciais e Análise de Sistemas. A gente precisa encontrar a transformada inversa da função . Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para facilitar a inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador: . Precisamos fatorar esse polinômio para simplificar a fração. Para isso, vamos tentar encontrar as raízes do polinômio, ou seja, os valores de que fazem o denominador igual a zero.

Passo 3

Vamos testar algumas possíveis raízes. Testando :
. Então, é uma raiz.

Passo 4

Agora que sabemos que é um fator, vamos fazer a divisão polinomial para encontrar os outros fatores. Dividindo por , obtemos .

Passo 5

Agora, vamos fatorar . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Assim, .

Passo 6

Então, o denominador completo fatorado é . Agora, nossa função fica:
Vamos usar frações parciais para decompor essa expressão.

Passo 7

Escrevemos a fração como:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, vamos escolher valores de para resolver para , e .

Passo 9

Primeiro, vamos escolher :

Passo 10

Agora, escolhemos :

Passo 11

Por fim, escolhemos :

Passo 12

Agora que temos , e , podemos reescrever a função original:

Passo 13

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
Usando isso, temos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A transformada inversa de é:

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