Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique suas respostas.
sumn=0^+infty(arctg(n))^n

Passo 1

Então, a gente tem uma série para verificar se ela converge ou diverge. A série é:
sumn=0^+infty(arctg(n))^n
Aqui, estamos lidando com séries numéricas, que fazem parte do estudo de sucessões e séries. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento dos termos da série quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é limn to +infty arctg(n) = pi2 approx 1,5708 . A função é a função arco-tangente, que quando cresce, se aproxima de . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece com limn to +infty (arctg(n))^n = ( pi2 )^n quando fica grande:
Como , isso significa que cresce exponencialmente sem limite quando aumenta.

Passo 4

Segundo o Teste da Divergência, se o limite dos termos gerais da série não for zero, a série diverge. Vamos aplicar isso:
limn to +infty (arctg(n))^n = +infty neq 0

Resposta

A série diverge.

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