Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique suas respostas.
Passo 1
Então, a gente tem uma série para verificar se ela converge ou diverge. A série é:
Aqui, estamos lidando com séries numéricas, que fazem parte do estudo de sucessões e séries. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento dos termos da série quando
fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é
. A função
é a função arco-tangente, que quando
cresce, se aproxima de
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece com
quando
fica grande:
Como
, isso significa que
cresce exponencialmente sem limite quando
aumenta.
Passo 4
Segundo o Teste da Divergência, se o limite dos termos gerais da série não for zero, a série diverge. Vamos aplicar isso:
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Verifique que a sequência
, dada por
. converge para 1 .
Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
10)
10)
Encontre a série de Taylor da função
dada por
, centrada em
. Qual é o seu raio de convergência? Justifique suas respostas.
Considere uma partícula
no espaço, cuja trajetória no instante
é dada por
. Considere o vetorvelocidade
, no instante
.
Qual é a posição de
, sabendo que
?
Qual é a posição