Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

Passo 1

Então, a gente tem uma série para verificar se ela converge ou diverge. A série é:
Aqui, estamos lidando com séries numéricas, que fazem parte do estudo de sucessões e séries. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento dos termos da série quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é . A função é a função arco-tangente, que quando cresce, se aproxima de . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece com quando fica grande:
Como , isso significa que cresce exponencialmente sem limite quando aumenta.

Passo 4

Segundo o Teste da Divergência, se o limite dos termos gerais da série não for zero, a série diverge. Vamos aplicar isso:

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Verifique que a sequência , dada por . converge para 1 .
Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
10)
Encontre a série de Taylor da função dada por , centrada em . Qual é o seu raio de convergência? Justifique suas respostas.
Considere uma partícula no espaço, cuja trajetória no instante é dada por . Considere o vetorvelocidade , no instante .
Qual é a posição de , sabendo que ?