Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada de Laplace de uma função específica. A transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil na análise de sistemas e resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e aplicar integral definida para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
No nosso caso, a função é definida de forma que:
Isso significa que é igual a 1 entre 0 e , e 0 depois de .

Passo 3

Com essa definição, podemos reescrever a integral da transformada de Laplace considerando os intervalos onde a função é não nula. Como de 0 a e 0 depois, nossa integral se reduz a:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a , temos:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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