Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
7)
7)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada inversa de Laplace da função:
Isso envolve trabalhar com frações racionais e, para isso, vamos precisar decompor a função em frações parciais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar os denominadores para facilitar a decomposição. Olhando para os dois denominadores:
Vamos fatorar cada um deles:
- Para
, buscamos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão 1. Esses números são 3 e -2. Então:
- Para
, podemos fatorar um :
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 4
Para encontrar
,
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, podemos escolher valores de
que simplificam a equação para encontrar cada constante.
Passo 5
Vamos escolher valores estratégicos para
:
- Para encontrar
, vamos substituir :
- Para encontrar
, substituímos :
- Para encontrar
, substituímos :
- Para encontrar
, substituímos :
Passo 6
Agora que temos todos os valores, podemos escrever a decomposição:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso a cada termo:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é:
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Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
6) .
6)
Faça um esboço dos conjuntos a seguir:
Faça um esboço dos conjuntos a seguir: