Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
7)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada inversa de Laplace da função:
Isso envolve trabalhar com frações racionais e, para isso, vamos precisar decompor a função em frações parciais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar os denominadores para facilitar a decomposição. Olhando para os dois denominadores:
Vamos fatorar cada um deles:
  • Para , buscamos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão 1. Esses números são 3 e -2. Então:
  • Para , podemos fatorar um :
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 4

Para encontrar , , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, podemos escolher valores de que simplificam a equação para encontrar cada constante.

Passo 5

Vamos escolher valores estratégicos para :
  1. Para encontrar , vamos substituir :
  1. Para encontrar , substituímos :
  1. Para encontrar , substituímos :
  1. Para encontrar , substituímos :

Passo 6

Agora que temos todos os valores, podemos escrever a decomposição:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso a cada termo:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:

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Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
6) .
Faça um esboço dos conjuntos a seguir:
Faça um esboço dos conjuntos a seguir: