Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
6) .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular a transformada inversa de Laplace da função:
Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que ajuda a decompor a função em partes mais simples que têm transformadas inversas conhecidas.

Passo 2

O próximo passo é decompor a função em frações parciais. Queremos expressar:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar as constantes , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 4

Agora, expandimos os termos do lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para o termo constante:

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
Primeira equação:
Substituímos na segunda equação:
E na terceira equação:
Agora temos:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo em :
E em :

Passo 7

Agora que encontramos , e , substituímos de volta na decomposição inicial:

Passo 8

Vamos simplificar a segunda fração. Complete o quadrado no denominador :
Então, a expressão fica:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.
  1. Para , sabemos que:
Então:
  1. Para , notamos que:
Aqui, e . Então:
Portanto:

Resposta

A transformada inversa de Laplace da função dada é:

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7)