Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
6)
.
6)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular a transformada inversa de Laplace da função:
Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que ajuda a decompor a função em partes mais simples que têm transformadas inversas conhecidas.
Passo 2
O próximo passo é decompor a função em frações parciais. Queremos expressar:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar as constantes
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Passo 4
Agora, expandimos os termos do lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
- Para
:
- Para
:
- Para o termo constante:
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações:
Primeira equação:
Substituímos
na segunda equação:
E na terceira equação:
Agora temos:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo
em
:
E em
:
Passo 7
Agora que encontramos
,
e
, substituímos de volta na decomposição inicial:
Passo 8
Vamos simplificar a segunda fração. Complete o quadrado no denominador
:
Então, a expressão fica:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.
- Para
, sabemos que:
Então:
- Para
, notamos que:
Aqui,
e
. Então:
Portanto:
Resposta
A transformada inversa de Laplace da função dada é:
Exercícios relacionados
Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
2)
2)
Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
f)
f)
Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
7)
7)