Suponha que a variável aleatória bidimensional (X, Y) tenha fdp conjunta
f(x, y)= x^2+x y3 & se 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 0 & se c c
b) Calcule a marginal de X .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma variável aleatória bidimensional f(x, y)= x^2+x y3 & se 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 0 & caso contrário com uma função densidade de probabilidade (fdp) conjunta definida por:
á
O que a gente precisa fazer aqui é calcular a marginal de , ou seja, encontrar a função densidade de probabilidade de isoladamente. Para isso, vamos precisar integrar a fdp conjunta em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a marginal de fX(x) = integral-infty^infty f(x, y) , dy . A marginal é obtida integrando a fdp conjunta em relação a todas as possíveis valores de . Matemáticamente, isso fica assim:
Mas, no nosso caso, sabemos que fora do intervalo , então a integral só precisa ir de 0 a 2.

Passo 3

Vamos então configurar a integral para encontrar fX(x) = integral0^2 ( x^2 + x y3 ) dy :
Agora, vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 4

Primeiro, separamos a integral em duas partes:
fX(x) = integral0^2 x^2 , dy + integral0^2 x y3 , dy
Isso facilita a resolução, já que podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral:
integral0^2 x^2 , dy = x^2 integral0^2 dy = x^2 [y]0^2 = x^2 (2 - 0) = 2x^2
Aqui, como é constante em relação a , a integral fica simples.

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral0^2 x y3 , dy = x3 integral0^2 y , dy = x3 [ y^22 ]0^2 = x3 ( 42 - 0 ) = x3 times 2 = 2x3
Aqui usamos a regra de integração para funções polinomiais.

Passo 7

Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter fX(x) = 2x^2 + 2x3 :
Então, essa é a função densidade marginal de .

Resposta

A marginal de fX(x) = 2x^2 + 2x3 para 0 <= x <= 1 é dada por:

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