Suponha que a variável aleatória bidimensional
tenha fdp conjunta
b) Calcule a marginal de X .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma variável aleatória bidimensional
com uma função densidade de probabilidade (fdp) conjunta definida por:
O que a gente precisa fazer aqui é calcular a marginal de
, ou seja, encontrar a função densidade de probabilidade de
isoladamente. Para isso, vamos precisar integrar a fdp conjunta em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a marginal de
. A marginal
é obtida integrando a fdp conjunta
em relação a todas as possíveis valores de
. Matemáticamente, isso fica assim:
Mas, no nosso caso, sabemos que
fora do intervalo
, então a integral só precisa ir de 0 a 2.
Passo 3
Vamos então configurar a integral para encontrar
:
Agora, vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Primeiro, separamos a integral em duas partes:
Isso facilita a resolução, já que podemos integrar cada termo separadamente.
Passo 5
Vamos calcular a primeira integral:
Aqui, como
é constante em relação a
, a integral fica simples.
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Aqui usamos a regra de integração para funções polinomiais.
Passo 7
Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter
:
Então, essa é a função densidade marginal de
.
Resposta
A marginal de
é dada por: