Determine as derivadas parciais de primeira ordem da fur

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Vamos precisar lembrar como derivar uma função que depende de duas variáveis, tratando uma como constante enquanto derivamos em relação à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante.
A função é .
Podemos reescrever isso como para facilitar a aplicação da regra do produto e da regra da cadeia.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
Sabemos que e, para derivar , usamos a regra da cadeia:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Simplificando a expressão:
Podemos colocar em evidência :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.
A função continua sendo .
Usamos a regra do quociente ou a regra da cadeia diretamente.

Passo 6

Usando a regra da cadeia para derivar em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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(2) .
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c) Calcule a marginal de Y.
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(3) .
Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
  1. .