Suponha que a variável aleatória bidimensional tenha fdp conjunta
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem uma variável aleatória bidimensional com uma função densidade de probabilidade conjunta definida. Nossa missão é encontrar a probabilidade de ser menor que , dado que é menor que . Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e integração de funções de densidade. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso é a probabilidade de ser menor que sabendo que já é menor que . A fórmula para probabilidade condicional é:
Então, precisamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Passo 3
Vamos calcular primeiro o denominador, que é . Isso significa integrar a função de densidade conjunta em todas as possibilidades de quando está entre e . A integral fica assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Passo 5
Agora, substituímos o resultado na integral externa, que é em relação a :
Passo 6
Agora, vamos calcular o numerador, que é . Isso significa integrar a função de densidade conjunta quando está entre e e está entre e :
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Passo 8
Agora, substituímos na integral externa:
Passo 9
Agora que temos o numerador e o denominador, podemos calcular a probabilidade condicional: