Suponha que a variável aleatória bidimensional (X, Y) tenha fdp conjunta
f(x, y)= x^2+x y3 & se 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 0 & se c c
(3) P(Y<12 rvert, X<12).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem uma variável aleatória bidimensional (X, Y) com uma função densidade de probabilidade conjunta definida. Nossa missão é encontrar a probabilidade de Y ser menor que 1/2, dado que X é menor que 1/2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e integração de funções de densidade. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa P(Y < 12 mid X < 12). Isso é a probabilidade de Y ser menor que 1/2 sabendo que X já é menor que 1/2. A fórmula para probabilidade condicional é:
P(Y < 12 mid X < 12) = P(Y < 12 e X < 12)P(X < 12)
Então, precisamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos calcular primeiro o denominador, que é P(X < 12). Isso significa integrar a função de densidade conjunta em todas as possibilidades de Y quando X está entre 0 e 1/2. A integral fica assim:
P(X < 12) = integral0^12 integral0^2 (x^2 + x y3) dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integral0^2 (x^2 + x y3) dy = x^2 cdot y + x3 cdot y^22 gr|0^2 = x^2 cdot 2 + x3 cdot 42 = 2x^2 + 2x3

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral externa, que é em relação a x:
P(X < 12) = integral0^12 (2x^2 + 2x3) dx = 23x^3 + 26x^2 gr|0^12 = 23 (12)^3 + 13 (12)^2 = 23 cdot 18 + 13 cdot 14 = 112 + 112 = 16

Passo 6

Agora, vamos calcular o numerador, que é P(Y < 12 e X < 12). Isso significa integrar a função de densidade conjunta quando X está entre 0 e 1/2 e Y está entre 0 e 1/2:
P(Y < 12 e X < 12) = integral0^12 integral0^12 (x^2 + x y3) dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integral0^12 (x^2 + x y3) dy = x^2 cdot y + x3 cdot y^22 gr|0^12 = x^2 cdot 12 + x3 cdot 18 = x^22 + x24

Passo 8

Agora, substituímos na integral externa:
P(Y < 12 e X < 12) = integral0^12 (x^22 + x24) dx = 12 cdot x^33 + 124 cdot x^22 gr|0^12 = 16 (12)^3 + 148 (12)^2 = 16 cdot 18 + 148 cdot 14 = 148 + 1192 = 148 + 1192 = 4192 + 1192 = 5192

Passo 9

Agora que temos o numerador e o denominador, podemos calcular a probabilidade condicional:
P(Y < 12 mid X < 12) = 519216 = 5192 times 61 = 30192 = 532

Resposta

A probabilidade P(Y < 12 mid X < 12) é 532, ou aproximadamente 0,15625.

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