Suponha que a variável aleatória bidimensional tenha fdp conjunta
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem uma variável aleatória bidimensional (X, Y) com uma função densidade de probabilidade conjunta definida. Nossa missão é encontrar a probabilidade de Y ser menor que 1/2, dado que X é menor que 1/2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e integração de funções de densidade. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa P(Y < 12 mid X < 12). Isso é a probabilidade de Y ser menor que 1/2 sabendo que X já é menor que 1/2. A fórmula para probabilidade condicional é:
P(Y < 12 mid X < 12) = P(Y < 12 e X < 12)P(X < 12)
Então, precisamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Passo 3
Vamos calcular primeiro o denominador, que é P(X < 12). Isso significa integrar a função de densidade conjunta em todas as possibilidades de Y quando X está entre 0 e 1/2. A integral fica assim:
P(X < 12) = integral0^12 integral0^2 (x^2 + x y3) dy , dx
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integral0^2 (x^2 + x y3) dy = x^2 cdot y + x3 cdot y^22 gr|0^2 = x^2 cdot 2 + x3 cdot 42 = 2x^2 + 2x3
Passo 5
Agora, substituímos o resultado na integral externa, que é em relação a x:
Agora, vamos calcular o numerador, que é P(Y < 12 e X < 12). Isso significa integrar a função de densidade conjunta quando X está entre 0 e 1/2 e Y está entre 0 e 1/2:
P(Y < 12 e X < 12) = integral0^12 integral0^12 (x^2 + x y3) dy , dx
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integral0^12 (x^2 + x y3) dy = x^2 cdot y + x3 cdot y^22 gr|0^12 = x^2 cdot 12 + x3 cdot 18 = x^22 + x24