Suponha que a variável aleatória bidimensional tenha fdp conjunta
(3) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem uma variável aleatória bidimensional com uma função densidade de probabilidade conjunta definida. Nossa missão é encontrar a probabilidade de ser menor que , dado que é menor que . Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e integração de funções de densidade. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso é a probabilidade de ser menor que sabendo que já é menor que . A fórmula para probabilidade condicional é:
Então, precisamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos calcular primeiro o denominador, que é . Isso significa integrar a função de densidade conjunta em todas as possibilidades de quando está entre e . A integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral externa, que é em relação a :

Passo 6

Agora, vamos calcular o numerador, que é . Isso significa integrar a função de densidade conjunta quando está entre e e está entre e :

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos na integral externa:

Passo 9

Agora que temos o numerador e o denominador, podemos calcular a probabilidade condicional:

Resposta

A probabilidade é , ou aproximadamente .

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(2) .
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  1. .
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