Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada inversa de . Isso está ligado ao estudo das Transformadas de Laplace, que são ferramentas muito úteis para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e técnicas de transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma das propriedades dos logaritmos que diz que . Aplicando isso, temos:
Assim, nossa função fica dividida em duas partes, o que vai facilitar a aplicação da transformada inversa separadamente para cada termo.

Passo 3

Agora, vamos focar em calcular a transformada inversa de cada termo individualmente. Primeiro, vamos calcular , onde pode ser 3 ou 1.
Para facilitar, vamos chamar . Para encontrar , vamos derivar em relação a :
Sabemos que a transformada inversa de é .

Passo 4

Agora, para encontrar , vamos integrar a transformada inversa da derivada que acabamos de encontrar:
Integrando em relação a :
Aqui, é a constante de integração que será determinada.

Passo 5

Para encontrar , consideramos o caso quando . Substituindo na expressão original:
Sabemos que . Então, substituindo na equação:
Portanto, a transformada inversa fica:

Passo 6

Agora, aplicando isso para os dois termos que temos:
Subtraindo os dois resultados:

Passo 7

Simplificando a expressão acima:
As partes com e os constantes se cancelam.

Resposta

A transformada inversa de é:

Exercícios relacionados

Faça um esboço dos conjuntos a seguir:
Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
4)
Calcule o valor das funções nos pontos:
Calcule o valor das funções nos pontos: