Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
9)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada inversa de
. Isso está ligado ao estudo das Transformadas de Laplace, que são ferramentas muito úteis para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e técnicas de transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma das propriedades dos logaritmos que diz que
. Aplicando isso, temos:
Assim, nossa função fica dividida em duas partes, o que vai facilitar a aplicação da transformada inversa separadamente para cada termo.
Passo 3
Agora, vamos focar em calcular a transformada inversa de cada termo individualmente. Primeiro, vamos calcular
, onde
pode ser 3 ou 1.
Para facilitar, vamos chamar
. Para encontrar
, vamos derivar
em relação a
:
Sabemos que a transformada inversa de
é
.
Passo 4
Agora, para encontrar
, vamos integrar a transformada inversa da derivada que acabamos de encontrar:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração que será determinada.
Passo 5
Para encontrar
, consideramos o caso quando
. Substituindo
na expressão original:
Sabemos que
. Então, substituindo na equação:
Portanto, a transformada inversa fica:
Passo 6
Agora, aplicando isso para os dois termos que temos:
Subtraindo os dois resultados:
Passo 7
Simplificando a expressão acima:
As partes com
e os constantes se cancelam.
Resposta
A transformada inversa de
é:
Exercícios relacionados
Faça um esboço dos conjuntos a seguir:
Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
4)
4)
Calcule o valor das funções nos pontos:
Calcule o valor das funções nos pontos: