Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada inversa de . Isso está relacionado com a Transformada de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar manipular algebricamente a fração e usar algumas propriedades básicas da Transformada de Laplace inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Queremos completar o quadrado para facilitar a aplicação das fórmulas de transformadas inversas.
O denominador pode ser reescrito assim:
Agora, a expressão fica:

Passo 3

Vamos dividir a fração em duas partes para facilitar:
Aqui, separamos a fração em duas partes: uma que se assemelha à transformada de e outra à de .

Passo 4

Sabemos que:
No nosso caso, e . Aplicando isso às duas partes que separamos:
  1. Para :
  1. Para :
    Observe que precisamos ajustar para ter no numerador:

Resposta

Portanto, a transformada inversa de é:

Exercícios relacionados

Trace as superfícies de nível das funções abaixo:
Suponha que a variável aleatória bidimensional tenha fdp conjunta
d) Calcule o seguinte:
(1) .
Faça um esboço dos conjuntos a seguir:
Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
9)